что такое угол вписанный в окружность

Угол. Вписанный угол.

Вписанный угол – это угол, сформированный двумя хордами, берущими начало в одной точки окружности. О вписанном угле говорят, что он опирается на дугу, заключенную между его сторонами.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

Говоря другими словами, вписанный угол включает в себе столько угловых градусов, минут и секунд, сколько дуговых градусов, минут и секунд заключено в половине дуги, на которую он опирается. Для обоснования проанализируем три случая:

36993055886b28d6d658.98829478

07286855886b54627891.40037513

Центр O расположен между сторонами вписанного угла ABС.Начертив диаметр BD, мы поделим угол ABС на два угла, из которых, по установленному в первом случае, один измеряется половиной дуги AD, а другой половиной дуги СD. И соответственно угол ABС измеряется (AD+DС) /2, т.е. 1 /2 AC.

42964655886b6b4ad1d9.25321882

Следствие 1. Любые вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу одинаковы, то есть равны между собой. Поскольку каждый из них измеряется половиной одной и той же дуги.

Источник

Центральные и вписанные углы

5fc8f1323b644172627587

Центральный угол и вписанный угол

Окружность — замкнутая линия, все точки которой равноудалены от ее центра.

Определение центрального угла:

Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

5fc8f132a166c849943293

На рисунке: центральный угол окружности EOF и дуга, на которую он опирается EF

Определение вписанного угла:

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности.
Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу, что и вписанный угол.

5fc8f159d40ae146319231

На рисунке: вписанный в окружность угол ABC и дуга, на которую он опирается AC

Свойства центральных и вписанных углов

Углы просты только на первый взгляд. Свойства центрального угла и свойства вписанного угла помогут решать задачки легко и быстро.

Угол AOC и угол ABC, вписанный в окружность, опираются на дугу AC, в этом случае центральный угол равен дуге AC, а угол ABC равен половине угла AOC.

ㄥADC = ㄥABC = ㄥAEC, поскольку все три угла, вписанные в окружность, опираются на одну дугу AC.

ㄥACB опирается на диаметр и на дугу AB, диаметр делит окружность на две равные части. Значит дуга AB = 180 ํ, ㄥCAB равен половине дуги, на которую он опирается, значит ㄥCAB = 90 ํ.

Если есть вписанный, обязательно найдется и описанный угол. Описанный угол — это угол, образованный двумя касательными к окружности. Вот так:

5fc8f1ff7f1f3274104259

На рисунке: ㄥCAB, образованный двумя касательными к окружности. AO — биссектриса ㄥCAB, значит центр окружности лежит на биссектрисе описанного угла.

Читайте также:  какая ты красивая зачем такая милая аккорды на гитаре

Для решения задачек мало знать, какой угол называется вписанным, а какой — описанным. Нужно знать, что такое хорда и ее свойство.

Хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности.

AB * AC = AE * AD
Получается, что стороны вписанного в окружность угла — это хорды.

ㄥBAC = ㄥCAB, поскольку лежат на хорде BC.

Примеры решения задач

Центральный, вписанные и описанные углы, как и любые другие, требуют тренировок в решении. Рассмотрите примеры решения задач и потренируйтесь самостоятельно.

5fc8f2f404b3b060174036

Как решаем: окружность 360° − ⌒AC − ⌒CB = 360° − 200° − 80° = 80°
По теореме: вписанный угол равен дуге ½.
ㄥACB = ½ ⌒AB = 40°

Задачка 2. Дана окружность, ㄥAOC = 140°, найдите, чему равна величина вписанного угла.

5fc8f2b4e0052426399882

Мы уже потренировались и знаем, как найти вписанный угол.
На рисунке в окружности центральный угол и дуга AC = 140°
Мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального, то ㄥABC = ½ ⌒AC = 140/2 = 70°

Задачка 3. Чему равен вписанный в окружность угол, опирающийся на дугу, если эта дуга = ⅕ окружности?

5fc8f2d65aa91024417553

⌒СB = ⅕ от 360° = 72°
Вписанный угол равен половине дуги, поэтому ㄥCAB = ½ от ⌒CB = 72° / 2 = 36°

Источник

Углы, связанные с окружностью

Вписанные и центральные углы

ca6

ca7

Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.

Теоремы о вписанных и центральных углах

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

ca8

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

ca9

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды

ca10

ca11

Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр

ca12

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

ca13

Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

Фигура Рисунок Теорема
Вписанный угол ca8

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Фигура Рисунок Теорема Формула
Угол, образованный пересекающимися хордами ca16 ca1
Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне круга ca17 ca2
Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касания ca20 ca3
Угол, образованный касательной и секущей ca18 ca2
Угол, образованный двумя касательными к окружности ca19 ca4

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

ca17

ca17w300

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

ca18

ca18w300

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

ca19

ca19w300

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

ca21

ca5

ca5w400

ca5w300

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

ca22

В этом случае справедливы равенства

ca6

ca6w400

ca6w300

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

ca23

В этом случае справедливы равенства

ca7

ca7w400

ca7w300

что и завершает доказательство теоремы 1.

ca24

ca8

ca8w300

что и требовалось доказать.

ca25

ca25w300

ca9

ca9w300

что и требовалось доказать.

ca26

ca26w300

ca10

ca10w300

что и требовалось доказать

ca27

ca27w300

ca11

ca11w400

что и требовалось доказать.

ca28

ca28w300

Источник

Вписанный угол окружности

Вписанный угол окружности — это угол, образованный двумя хордами, исходящими из одной точки, то есть вписанным углом называется угол, вершина которого лежит на окружности.

vpis ug

Угол ABC — вписанный угол. ∠ABC опирается на дугу AC, заключённую между его сторонами.

Теорема о вписанном угле

Теорема:

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Это следует понимать так: вписанный угол содержит в два раза меньше градусов, чем дуга, на которую он опирается:

vpis ug2

Угол, образованный пересекающимися хордами хордами
ca16
Формула: ca1
∠ABC = 1 dugaAC.
2

При доказательстве этой теоремы следует рассмотреть три возможных случая расположения вписанного угла относительно центра окружности.

Первый случай. Сторона вписанного угла проходит через центр окружности.

vpis ug3

Соединим точку A с центром круга (точкой O). Получим равнобедренный треугольник AOB, в котором AO = OB, как радиусы одной окружности. Следовательно, ∠A = ∠B, как углы при основании равнобедренного треугольника.

vpis ug4

Так как ∠AOC — внешний угол равнобедренного треугольника, то:

а так как углы A и B равны, то

Но ∠AOC — центральный угол, значит ∠AOC = dugaAC, следовательно ∠B измеряется половиной дуги AC:

∠ABC = ∠B = 1 dugaAC.
2

Второй случай. Центр окружности лежит между сторонами вписанного угла.

vpis ug5

Проведём диаметр BD. Угол ABC разбился на два угла: 1 и 2.

vpis ug6

Точка D разделяет дугу AC на две дуги: dugaAD и dugaDC. По доказательству, рассмотренному в первом случае:

1 = 1 dugaAD и 2 = 1 dugaDC.
2 2

Следовательно, весь угол ABC будет измеряться половиной дуги AC:

1 + 2 = 1 dugaAD + 1 dugaDC
2 2
∠ABC = 1 dugaAC.
2

Третий случай. Центр окружности лежит вне вписанного угла.

vpis ug7

Проведём диаметр BD.

vpis ug8

∠ABC = 1 dugaAC.
2

Следствия из теоремы

1. Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой, так как они измеряются половиной одной и той же дуги.

vpis ug9

2. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой, так как он опирается на половину окружности.

Половина окружности содержит 180°, значит, угол, опирающийся на диаметр, содержит 90°.

Источник

Вписанный угол окружности

Определение 1. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом окружности.

На рисунке 1 угол ABC вписанный. А дуга AMB расположена внутри этого угла. В таком случае говорят, что угол ABC опирается на дугу AMB.

img1

Теорема 1 (теорема о вписанном угле). Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

img2img3img4

Возможны три случая расположения луча BO относительно угла ABC.

Рассмотрим треугольник ABO. Данный треугольник равнобедренный так как радиусы OA и OB окружности с центром O равны. Тогда \( \small \angle 1=\angle 2. \) Угол AOC является внешним углом треугольника ABO. Тогда \( \small \angle AOC=\angle 1+\angle 2 \) и поскольку \( \small \angle 1=\angle 2, \) получим: \( \small \angle AOC=2 \cdot \angle 2. \) Отсюда следует:

img6 1img6 2
img7

2. Луч BO делит угол ABC на два угла и не совпадает со стороной этого угла (Рис.3). Тогда луч BO пересекает дугу AC в некоторой точке D и делит ее на две дуги: AD и DC. По доказанному в пункте 1, имеем:

Складывая равенства (1) и (2), получим:

img9 1img9 2

3. Луч BO не делит угол ABC на два угла и не совпадает со стороной этого угла (Рис.4). Тогда луч BO пересекает окружность с центром O в некоторой точке D. По доказанному в пункте 1, имеем:

Вычитая из (4) равенство (5), получим:

img11 1img11 2
img7dok1

Следствие 1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (Рис.5).

imgris5

Следствие 2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность − прямой (Рис.6).

imgris6

Произведение отрезков пересекающихся хорд

Теорема 2. Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

imgris7

Источник

Рейтинг
( Пока оценок нет )
Праздники по дням и их значения
Adblock
detector