что такое угол вписанный в окружность

Угол. Вписанный угол.

Вписанный угол – это угол, сформированный двумя хордами, берущими начало в одной точки окружности. О вписанном угле говорят, что он опирается на дугу, заключенную между его сторонами.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

Говоря другими словами, вписанный угол включает в себе столько угловых градусов, минут и секунд, сколько дуговых градусов, минут и секунд заключено в половине дуги, на которую он опирается. Для обоснования проанализируем три случая:

Центр O расположен между сторонами вписанного угла ABС.Начертив диаметр BD, мы поделим угол ABС на два угла, из которых, по установленному в первом случае, один измеряется половиной дуги AD, а другой половиной дуги СD. И соответственно угол ABС измеряется (AD+DС) /2, т.е. 1 /₂ AC.

Следствие 1. Любые вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу одинаковы, то есть равны между собой. Поскольку каждый из них измеряется половиной одной и той же дуги.

Источник

Центральные и вписанные углы

Центральный угол и вписанный угол

Окружность — замкнутая линия, все точки которой равноудалены от ее центра.

Определение центрального угла:

Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

На рисунке: центральный угол окружности EOF и дуга, на которую он опирается EF

Определение вписанного угла:

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности.
Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу, что и вписанный угол.

На рисунке: вписанный в окружность угол ABC и дуга, на которую он опирается AC

Свойства центральных и вписанных углов

Углы просты только на первый взгляд. Свойства центрального угла и свойства вписанного угла помогут решать задачки легко и быстро.

Угол AOC и угол ABC, вписанный в окружность, опираются на дугу AC, в этом случае центральный угол равен дуге AC, а угол ABC равен половине угла AOC.

ㄥADC = ㄥABC = ㄥAEC, поскольку все три угла, вписанные в окружность, опираются на одну дугу AC.

ㄥACB опирается на диаметр и на дугу AB, диаметр делит окружность на две равные части. Значит дуга AB = 180 ํ, ㄥCAB равен половине дуги, на которую он опирается, значит ㄥCAB = 90 ํ.

Если есть вписанный, обязательно найдется и описанный угол. Описанный угол — это угол, образованный двумя касательными к окружности. Вот так:

На рисунке: ㄥCAB, образованный двумя касательными к окружности. AO — биссектриса ㄥCAB, значит центр окружности лежит на биссектрисе описанного угла.

Читайте также: колхоз что это такое

Для решения задачек мало знать, какой угол называется вписанным, а какой — описанным. Нужно знать, что такое хорда и ее свойство.

Хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности.

AB * AC = AE * AD
Получается, что стороны вписанного в окружность угла — это хорды.

ㄥBAC = ㄥCAB, поскольку лежат на хорде BC.

Примеры решения задач

Центральный, вписанные и описанные углы, как и любые другие, требуют тренировок в решении. Рассмотрите примеры решения задач и потренируйтесь самостоятельно.

Как решаем: окружность 360° − ⌒AC − ⌒CB = 360° − 200° − 80° = 80°
По теореме: вписанный угол равен дуге ½.
ㄥACB = ½ ⌒AB = 40°

Задачка 2. Дана окружность, ㄥAOC = 140°, найдите, чему равна величина вписанного угла.

Мы уже потренировались и знаем, как найти вписанный угол.
На рисунке в окружности центральный угол и дуга AC = 140°
Мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального, то ㄥABC = ½ ⌒AC = 140/2 = 70°

Задачка 3. Чему равен вписанный в окружность угол, опирающийся на дугу, если эта дуга = ⅕ окружности?

⌒СB = ⅕ от 360° = 72°
Вписанный угол равен половине дуги, поэтому ㄥCAB = ½ от ⌒CB = 72° / 2 = 36°

Источник

Углы, связанные с окружностью

Вписанные и центральные углы

Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.

Теоремы о вписанных и центральных углах

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды

Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр

Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

Фигура	Рисунок	Теорема
Вписанный угол

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Фигура	Рисунок	Теорема	Формула
Угол, образованный пересекающимися хордами
Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне круга
Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касания
Угол, образованный касательной и секущей
Угол, образованный двумя касательными к окружности

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

В этом случае справедливы равенства

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

В этом случае справедливы равенства

что и завершает доказательство теоремы 1.

что и требовалось доказать.

что и требовалось доказать

что и требовалось доказать.

Источник

Вписанный угол окружности

Вписанный угол окружности — это угол, образованный двумя хордами, исходящими из одной точки, то есть вписанным углом называется угол, вершина которого лежит на окружности.

Угол ABC — вписанный угол. ∠ABC опирается на дугу AC, заключённую между его сторонами.

Теорема о вписанном угле

Теорема:

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Это следует понимать так: вписанный угол содержит в два раза меньше градусов, чем дуга, на которую он опирается:

Угол, образованный пересекающимися хордами хордами

Формула:

∠ABC =	1	AC.
	2

При доказательстве этой теоремы следует рассмотреть три возможных случая расположения вписанного угла относительно центра окружности.

Первый случай. Сторона вписанного угла проходит через центр окружности.

Соединим точку A с центром круга (точкой O). Получим равнобедренный треугольник AOB, в котором AO = OB, как радиусы одной окружности. Следовательно, ∠A = ∠B, как углы при основании равнобедренного треугольника.

Так как ∠AOC — внешний угол равнобедренного треугольника, то:

а так как углы A и B равны, то

Но ∠AOC — центральный угол, значит ∠AOC = AC, следовательно ∠B измеряется половиной дуги AC:

∠ABC = ∠B =	1	AC.
	2

Второй случай. Центр окружности лежит между сторонами вписанного угла.

Проведём диаметр BD. Угол ABC разбился на два угла: ∠1 и ∠2.

Точка D разделяет дугу AC на две дуги: AD и DC. По доказательству, рассмотренному в первом случае:

∠1 =	1	AD и ∠2 =	1	DC.
	2		2

Следовательно, весь угол ABC будет измеряться половиной дуги AC:

∠1 + ∠2 =	1	AD +	1	DC
	2		2

∠ABC =	1	AC.
	2

Третий случай. Центр окружности лежит вне вписанного угла.

Проведём диаметр BD.

∠ABC =	1	AC.
	2

Следствия из теоремы

1. Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой, так как они измеряются половиной одной и той же дуги.

2. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой, так как он опирается на половину окружности.

Половина окружности содержит 180°, значит, угол, опирающийся на диаметр, содержит 90°.

Источник

Вписанный угол окружности

Определение 1. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом окружности.

На рисунке 1 угол ABC вписанный. А дуга AMB расположена внутри этого угла. В таком случае говорят, что угол ABC опирается на дугу AMB.

Теорема 1 (теорема о вписанном угле). Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Возможны три случая расположения луча BO относительно угла ABC.

Рассмотрим треугольник ABO. Данный треугольник равнобедренный так как радиусы OA и OB окружности с центром O равны. Тогда \( \small \angle 1=\angle 2. \) Угол AOC является внешним углом треугольника ABO. Тогда \( \small \angle AOC=\angle 1+\angle 2 \) и поскольку \( \small \angle 1=\angle 2, \) получим: \( \small \angle AOC=2 \cdot \angle 2. \) Отсюда следует:

2. Луч BO делит угол ABC на два угла и не совпадает со стороной этого угла (Рис.3). Тогда луч BO пересекает дугу AC в некоторой точке D и делит ее на две дуги: AD и DC. По доказанному в пункте 1, имеем:

Складывая равенства (1) и (2), получим:

3. Луч BO не делит угол ABC на два угла и не совпадает со стороной этого угла (Рис.4). Тогда луч BO пересекает окружность с центром O в некоторой точке D. По доказанному в пункте 1, имеем:

Вычитая из (4) равенство (5), получим: