что такое угол в 1 радиан

Что такое угол в 1 радиан

Рассмотрим окружность с радиусом, равным единице, в прямоугольной системе координат с центром в начале координат. Такую окружность называют единичной или тригонометрической.

WhatsApp Image 2021

Длина окружности, как мы помним из уроков геометрии, равна С = 2πR, а так как R = 1, то C = 2π.

Окружность поделена на четыре дуги, которые находятся в I, II, III и IV координатных четвертях.

WhatsApp Image 2021

Длина каждой дуги равна ¼ части окружности или 2π/4 = π/2.

Длина полуокружности равна π = 180°.

Рассмотрим дугу, равную по длине радиусу единичной окружности:

WhatsApp Image 2021

Определение: Углом в 1 радиан называется центральный угол, опирающийся на дугу, равную по длине радиусу окружности.

А так как π ≈ 3,14, то 1 рад ≈ 57,3°.

Угол, равный α радиан вычисляется по формуле:

WhatsApp Image 2021

Пример 1. Найдите градусную меру угла, равного 2π/3 радиан.

Так как π = 180°, то 1° = π/180 радиан.

Тогда α° = α·π/180 радиан.

Пример 2. Найдите радианнную меру угла, равного 60°

Источник

Радиан

220px Radian cropped color.svg

magnify clip

Радиа́н (русское обозначение: рад, международное: rad; от лат. radius — луч, радиус) — основная единица измерения плоских углов в современной математике и физике. Радиан определяется как угловая величина дуги, длина которой равна её радиусу. Таким образом, величина полного угла равна 2 π радиан.

Так как величина угла, выраженная в радианах, равна отношению длины дуги окружности к длине её радиуса, радиан — величина безразмерная. Поэтому обозначение радиана (рад) часто опускается.

Содержание

Связь радиана с другими единицами

450px Degree Radian Conversion.svg

magnify clip

Соотношение радиана с другими единицами измерения углов описывается формулой:

Очевидно, 180° = π радиан. Отсюда вытекает тривиальная формула пересчёта из градусов, минут и секунд в радианы и наоборот.

α [рад] = α [°] × ( π / 180); α [°] = α [рад] × (180 / π ),

где α [рад] — угол в радианах, α [°] — угол в градусах

1 рад ≈ 57,295779513° ≈ 57°17′44,806″ ≈ 206265″.

Радианная мера в математическом анализе

При рассмотрении тригонометрических функций в математическом анализе всегда считается, что аргумент выражен в радианах, что упрощает запись.

При малых углах синус и тангенс угла, выраженного в радианах, приблизительно равны самому углу, что удобно при приближённых вычислениях:

53e082d0fdf9b87ef2d4cdda3b1f7f98

Косинус малого угла, выраженного в радианах, приближённо равен:

e03d12261d1e378c35fc5edf13bd0025

Радиан в физике

Кратные и дольные единицы

Десятичные кратные и дольные единицы образуются с помощью стандартных приставок СИ, однако используются редко. Так, в миллирадианах, микрорадианах и нанорадианах измеряется угловое разрешение в астрономии. В кратных единицах (килорадианах и т. д.) измеряется набег угловой фазы. Сокращённое обозначение (рад, rad) основной и производных единиц не следует путать с устаревшей единицей измерения поглощённой дозы ионизирующего излучения — рад.

Кратные Дольные
величина название обозначение величина название обозначение
10 1 рад декарадиан дарад darad 10 −1 рад децирадиан драд drad
10 2 рад гекторадиан град hrad 10 −2 рад сантирадиан срад crad
10 3 рад килорадиан крад krad 10 −3 рад миллирадиан мрад mrad
10 6 рад мегарадиан Мрад Mrad 10 −6 рад микрорадиан мкрад µrad
10 9 рад гигарадиан Град Grad 10 −9 рад нанорадиан нрад nrad
10 12 рад терарадиан Трад Trad 10 −12 рад пикорадиан прад prad
10 15 рад петарадиан Прад Prad 10 −15 рад фемторадиан фрад frad
10 18 рад эксарадиан Эрад Erad 10 −18 рад атторадиан арад arad
10 21 рад зеттарадиан Зрад Zrad 10 −21 рад зепторадиан зрад zrad
10 24 рад йоттарадиан Ирад Yrad 10 −24 рад йокторадиан ирад yrad
применять не рекомендуется не применяются или редко применяются на практике

Примечания

См. также

48px No iwiki template.svg

Полезное

Смотреть что такое «Радиан» в других словарях:

РАДИАН — РАДИАН, угол, образованный пересечением двух радиусов из центра ОКРУЖНОСТИ, при этом длина дуги, ограниченной этими радиусами, равна длине радиуса. Таким образом радиан единица измерения УГЛА, приблизительно равный 57,296°, а углу 360°… … Научно-технический энциклопедический словарь

Читайте также:  световой поток светодиодных ламп что это такое

РАДИАН — Лапландский бог, берущий, по их верованию, души умерших к себе на небо. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. радиан (лат. radius луч, радиус) мат. единица измерения плоских углов, употребляемая в… … Словарь иностранных слов русского языка

РАДИАН — (от лат. radius луч, радиус) (рад, rad), единица плоского угла; 1 рад равен углу между двумя радиусами окружности, длина дуги между к рыми равна радиусу. 1 рад=57°17 44,8 »3,44•103 угл. минут»2,06•105 угл. секунд»63,7g (см. ГРАД). Физический… … Физическая энциклопедия

радиан — а, м. radian m., нем. Radian <лат. лат. radius луч. Угол, соответствующий дуге, длина которой равна ее радиусу. БАС 1. Лекс. Гранат: радиан; СИС 1937: радиа/н … Исторический словарь галлицизмов русского языка

РАДИАН — РАДИАН, радиана, муж. (от лат. radius луч) (мат.). Единица измерения углов, представляющая собою угол, у которого дуга равна радиусу окружности. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова

радиан — сущ., кол во синонимов: 3 • единица (830) • рад (7) • угол (27) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин … Словарь синонимов

радиан — — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN radian … Справочник технического переводчика

Источник

Перевод градусов в радианы и обратно: формулы, примеры

Углы измеряются в градусах или в радианах. Важно понимать связь между этими единицами измерения. Понимание этой связи позволяет оперировать углами и осуществлять переход от градусов к радианам и обратно. В данной статье выведем формулу для перевода градусов в радианы и радианов в градусы, а также разберем несколько примеров из практики.

Связь между градусами и радианами

Связь градусов с радианами

Связь между радианами и градусами выражается формулой

Формулы перевода радианов в градусы и наоборот

Из формулы, полученной выше, можно вывести другие формулы для перевода углов из радианов в градусы и из градуов в радианы.

Выразим один радиан в градусах. Для этого разделим левую и правую части радиуса на пи.

Также можно выразить один градус в радианах.

Можно произвести приблизтельные вычисления величин угла в радианах и наоборот. Для этого возьмем значения числа π с точностью до десятитысячных и подставим в полученные формулы.

Значит, в одном радиане примерно 57 градусов

Один градус содержит 0,0175 радиана.

Формула перевода радианов в градусы

Чтобы перевести угол из радианов в градусы, нужно значение угла в радианах умножить на 180 и разделить на пи.

Примеры перевода градусов в радианы и радианов в градусы

Пример 1. Перевод из радианов в градусы

Применим формулу перехода от радианов к градусам и получим:

Аналогично можно получить формулу перевода из градусов в радианы.

Формула перевода из градусов в радианы

y ° = y · π 180 р а д

Переведем 47 градусов в радианы.

Согласно формуле, умножим 47 на пи и разделим на 180.

Источник

Что такое радиан? И почему в круге 360 градусов?

Анна Малкова (автор книги для подготовки к ЕГЭ, ведущая годового Онлайн-курса подготовки к ЕГЭ на 100 баллов, руководитель компании «ЕГЭ-студия» (Курсы ЕГЭ))

Сегодня поговорим об измерении углов. Почему в круге 360 градусов? Что такое 1 радиан? И как связаны градусы и радианы?

Начнем с градусов. Что за странное число 360? Мы привыкли, что в рубле 100 копеек, в метре 100 сантиметров, в килограмме 1000 граммов. У нас десятеричная система исчисления, потому что на руках у нас по 10 пальцев. Но откуда в нашем языке такие странные слова как дюжина, то есть 12? Почему у нас в часе 60 минут, а не 100? И в минуте 60 секунд. Также и этот круг 360 градусов, а не 1000. Дюжина – это 12. 60 делится на 12. Может быть у наших предков было по 12 пальцев на обеих руках? Конечно, нет.

Читайте также:  что такое сонная артерия и где она находится у человека

Оказывается, пользуясь пальцами одной руки, можно отсчитать не 5, а 12. Вот как это делали самые разные народы: они считали фаланги пальцев. Их всего 12.

Но чем же число 12 лучше 10? Может быть тем, что у числа 12больше делителей? Посмотрите, на экране делители числа 10 и делители числа 12. А у числа 360 делителей еще больше, целых 24. Если в круге 360 градусов, его легко поделить на множество частей. И это не все.

В день равноденствия солнце встает почти точно на востоке и заходит почти точно на западе, и проходит за день по небу путь в 360 раз больший, чем видимый с Земли диаметр солнца. Небесную полуокружность разделили на 180 градусов. Угловой диаметр солнца примерно 32 угловых минуты, чуть больше, чем полградуса. Он немного меняется в течении года из-за того, что орбита Земли не круговая, а эллиптическая. Утверждение о том, что в день равноденствия солнце проходит по небу путь, равный 360 своим «шагам», то есть 360 видимым диаметрам солнца, верно с некоторой точностью.

– Замечательно! – сказали древние шумеры. – На небе есть подтверждения нашим вычислениям! А вот еще яркая звезда Юпитер!

Оказывается, Юпитер совершает полный оборот вокруг Солнца за 12 лет. Конечно, не 12, а 11,86 земных лет, но очень уж хотелось астрономам округлить до своего любимого числа.

Посмотрим на луну. Ее каждый найдет на небе, когда она полная, в отличии от Юпитера. Лунный месяц примерно 29,5 земных суток. А если у нас в году будет 12 месяце, а год – 365 дней (точнее, конечно, 365,242 земных суток). Что-то близкое к числу 360. Астрономы подумали: «Наверное, Боги хотели, чтобы у нас в году было 360 дней и 12 месяцев по 30 дней, но где-то, вероятно, они ошиблись в расчетах, или кто-то им помешал. Но нам никто не помешает, и мы будем делить круг на 360 градусов».

Обозначается это вот так: 360 и вверху значок градуса.

А что же такое радианы? Что такое угол в 1 радиан? С радианами все намного проще.

1 радиан – это центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности. 1 радиан приблизительно равен 57 градусам (изображение на экране, 5:20 мин).

А как перевести градусы в радианы? Мы сказали, что 1 круг – это 360 градусов. Но чему же равна длина всей окружности с радиусом r? Вспоминаем формулу (5:44). У нас появляется число Пи. Число Пи известно людям с глубокой древности, потому что люди, видя на небе круглое солнце и луну, хотели сделать что-нибудь похожее. Они плели круглые корзины, делала круглые тарелки. И заметили, что отношение длины окружности к ее диаметру всегда одно и то же. Это число немного больше, чем 3, точнее, 3,1415926. Проходили столетия, и число Пи вычисляли со все большей и большей точностью. Отношение длины окружности к ее диаметру – это число Пи.

Полный круг – 360 градусов. Длина окружности – 2Пиr (6:50).

Наш угол в 1 радиан опирается на дугу окружности равную r. Мы получаем, что угол в один радиан соответствует дуге окружности равной r, радиусу окружности. 360 градусов, полный круг, соответствует всей длине окружности, то есть 2Пиr. Во сколько же раз полный круг больше, чем 1 радиан? Очевидно, в 2Пи раз. 360 градусов соответствует 2Пи радианам. 180 градусов – Пи радиан, 90 градусов – это Пи/2 радиан.

Теперь вы знаете, что же такое написано на Тригонометрическом круге, что такое радианы и почему в круге 360 градусов.

Если у вас есть другие версии, почему именно 360, пишите в комментариях. Присылайте новые интересные вопросы и задачи!

Читайте также:  кожа иктеричная что такое

Источник

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №29. Радианная мера угла

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

1) Понятие тригонометрической окружности;

2) Поворот точки вокруг начала координат;

3) Длина дуги окружности и площадь кругового сектора.

Окружность – это замкнутая линия, все точки которой равноудалены от центра.

Радиус окружности – отрезок, соединяющий её центр с любой лежащей на окружности точкой.

Круг – часть плоскости, ограниченная окружностью.

Дуга окружности – кривая линия, лежащая на окружности и ограниченная двумя точками.

Круговой сектор – часть круга, ограниченная двумя радиусами.

Угол в 1 радиан – центральный угол, опирающийся на дугу, равную по длине радиусу окружности.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Учебно-методический комплект: Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

На уроках геометрии мы с вами изучали окружность, её элементы, свойства. Повторим понятие окружности. Это замкнутая линия, все точки которой равноудалены от центра.

Радиусом окружности называется отрезок, соединяющий её центр с любой лежащей на окружности точкой.

«Окружность бесконечно большого круга и прямая линия – одно и то же» Г. Галилей

Действительно, и окружность и прямая – бесконечны. Рассмотрим окружность радиуса, равному 1 единичному отрезку, в прямоугольной системе координат хОу с центром в начале координат. Такую окружность называют единичной или тригонометрической. (рис.1)

06775d95 558e 4757 9213 664b2abac76b

Длина этой окружности (в предыдущей задаче велотрека), как мы помним из уроков геометрии, 66eb1fcb afdb 4ede 90d4 d3d97392583a. А учитывая, что R=1, f2a20b5f 9ae6 4fc3 8f0a 115d7fc0e439, осями координат она поделена на четыре дуги, которые находятся соответственно в I, II, III и IV координатных четвертях.

Вычислите длину каждой дуги.

Ответ. длина каждой дуги равна fba512d9 ab0a 4db4 a364 f8e3c56f1980части окружности или 1efc4c34 5da0 472b 81c4 2f6f58d335b0

Длина полуокружности равна 7510cbcc 6567 4486 b2c6 be5e85b0f496А так как образовался развернутый угол, то 1f9c5e11 0afb 41c4 baaf ba3139f3982d180f32b9ab1 304c 429c 8233 e53ddaac9d5d.

Рассмотрим дугу, равную по длине радиусу единичной окружности. Полученный центральный угол РОМ равен длине дуги МР=R.

ecfe6cb6 e290 445a 96cf 40dd88819460рис.3

Определение. Углом в 1 радиан называется центральный угол, опирающийся на дугу, равную по длине радиусу окружности.

e37194a1 e593 4a75 a31d 32623d3d5f8f;

05d71802 4a60 4913 9150 c9d1c7d04d77

2e39d41f 98c3 401c 8472 77daa470bd7eα рад=(180/π α)° (1)

Длину дуги l окружности радиуса R (рис.4)

d2b22729 fe8f 4480 980c 7fb5a939f649

можно вычислять по формуле0fd365d5 62be 4efe a4ec ecb18659cc60(3)

А площадь S кругового сектора радиуса R и дугой d9b0ce3a 06e9 4f39 b4ea 3d48c091e368рад (рис.5)

d354e237 c783 4f42 8a0f 4b928f836cff

находят по формуле: 6dac5cec 13ca 4990 b9af ef95d4ca9a4e, где cad369f5 ea16 4aa1 8501 ffe0ab57ae64(4)

Вернёмся к единичной окружности в координатной плоскости.

Введём понятие поворота точки. (рис.2)

При повороте на 0 рад точка остаётся на месте.

Давайте рассмотрим такой пример:

при повороте точки М(1;0) на угол b51d841a 797e 42a9 b4b3 ca879ff277e3получается точка N (0;1). В эту же точку можно попасть из точки М(1;0) при повороте на

угол 02d53979 c684 4148 88ed f42b18058c37(рис.6)

86e0078f fd55 4ecc bc59 b53be0bc0ba8

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Найти градусную меру угла, равного d5fe9236 f85c 457e 9eb4 901822baf899рад.

Решение: Используя формулу (1),

находим 233e4368 d4aa 4ce3 b57e d5bcbc652c1d.

Так как 5de6af4e 3d83 45d4 90cf dcb1cc0d5926, то f86ef4d8 51b8 4fea a371 a021fbbbf74cрад, тогда e0577a6a 2895 4065 842f 3db53fcc4b44(2)

Ответ: 9ed6488b 174f 4a2f a685 3f69f1f61696.

Пример 2. Найти радианную меру угла, равного 60581f38ef b1f3 4922 8225 aed702579d74.

Вычисляем по формуле (2): 07140e46 2d0e 4fd6 856c 572c731d3c03рад

cf4ee044 41b1 4392 b179 b9058ed977faрад

При обозначении мер угла, наименование «рад» опускают.

Ответ: 1bcadb84 1303 4f28 9a5c c32ca07fe298рад, b7e49327 ef1a 4a5a 84b6 5b914a30c6c6рад.

Пример 3. Найти длину дуги окружности радиуса 6 см, если её радианная мера 41b04a37 b49e 42f0 922a d36a9f87bc66.

Решение: Используя формулу (3),

получим: 2d342158 6377 42e4 b797 8686ac33fe89

Ответ: 349b5da1 721c 4c47 bbf8 8fc8b1e01dc1.

Пример 4. Найти площадь сектора, если радиус окружности 10 м, а радианная мера центрального угла ace387ca 7617 481f a84c b0eb54e58e11.

По формуле (4) вычисляем 4a33f2f1 76fb 4b58 93ae 3b536cd284ae

Ответ: 45 568ec173 c6a0 4607 8b15 d6b4132910abм 2

Пример 5. Найти координаты точки М, полученной из точки N(1;0) поворотом на угол, равный c57004d5 ad93 4f1c 96eb 86afc70c738f.

Решение: Абсцисса точки М равна отрезку ОК, ордината отрезку ОТ=МК. Так как 77cd326b e4e3 48f5 bcfc e9ccb50c847aто

прямоугольный равнобедренный треугольник ОМК имеет равные катеты и гипотенузу ОМ=R=1. По теореме Пифагора можно найти длины катетов. Они равны cbd46105 b3c9 4cf3 aaf2 d1043514115eУчитывая, что точка М находится в I координатной четверти, её координаты положительны. 2e60c2e4 8d7d 48c0 bd5b b596016987ed

На окружности можно найти координаты любой точки.

Ответ: 13a2a84c b50e 467a a3e2 8f9bfefe8376

Источник

Рейтинг
( Пока оценок нет )
Праздники по дням и их значения
Adblock
detector