Угол между прямой и плоскостью (ЕГЭ 2022)
Почти половина четверти уходит у школы на то, чтобы, изучая стереометрию, объяснить, как находятся различные углы в пространстве.
Один из таких – угол между прямой и плоскостью, очень важный момент!
А мы попробуем объяснить тебе это за 15 минут!
Угол между прямой и плоскостью — коротко о главном
Угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и её проекцией на эту плоскость.
Геометрический метод нахождения угла между прямой и плоскостью
При геометрическом методе нужно найти какую-нибудь удобную точку на прямой, опустить перпендикуляр на плоскость, выяснить, что из себя представляет проекция, а потом решать планиметрическую задачу по поиску угла (\( \displaystyle \varphi \)) в треугольнике (зачастую прямоугольном).
Алгебраический метод нахождения угла между прямой и плоскостью
При алгебраическом методе вводится система координат, определяются координаты двух точек на прямой и уравнение плоскости, а затем применяется формула вычисления угла между прямой и плоскостью.
Что есть угол между прямой и плоскостью?
Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её проекцией на эту плоскость.
Вот, смотри: прямая \( a\) плоскость \( \displaystyle \alpha \).
Как определить угол между ними?
В соответствии с определением, которое мы только что дали), нужно опустить перпендикуляр (\( \displaystyle <_<0>>\)) из любой точки прямой \( a\) на плоскость \( \displaystyle \alpha \).
А потом провести прямую через точки \( \displaystyle A\) и \( \displaystyle O\).
Так вот, по определению, угол между прямой \( \displaystyle a\) и плоскостью \( \displaystyle \alpha \) равен углу (\( \displaystyle \varphi \)) между \( \displaystyle a\) и \( \displaystyle <’>\).
Угол между прямой и плоскостью в задачах
Как найти угол между прямой и плоскостью в задачах?
Как и в других задачах на нахождение углов и расстояний в стереометрии, есть два метода: геометрический и алгебраический.
Геометрический метод
При геометрическом методе нужно найти какую-нибудь удобную точку на прямой, опустить перпендикуляр на плоскость, выяснить, что из себя представляет проекция, а потом решать планиметрическую задачу по поиску угла (\( \displaystyle \varphi \)) в треугольнике (зачастую прямоугольном).
Самый сложный момент – определить, куда опустится перпендикуляр и какая же прямая является проекцией.
Алгебраический метод
При алгебраическом методе вводится система координат, определяются координаты двух точек на прямой и уравнение плоскости, а затем применяется формула вычисления угла между прямой и плоскостью.
Здесь (\( \displaystyle <
Самый сложный момент – твёрдо запомнить формулу и хорошо понимать, откуда взять все буквы для неё.
Теперь мы разберём одну задачу, где нужно найти угол между прямой и плоскостью, двумя разными способами: геометрическим и алгебраическим.
Задача по поиску угла между прямой и плоскостью
В правильной шестиугольной пирамиде \( \displaystyle SABCDEF\) точка \( \displaystyle M\) – середина ребра.
Найти угол между прямой \( \displaystyle FM\) и плоскостью основания, если \( \displaystyle SE=3FE\).
Решение задачи геометрическим методом
Поскольку в правильной пирамиде высота опускается в центр основания \( \displaystyle O\), то \( \displaystyle OE\) – это проекция \( \displaystyle SE\), а точка \( \displaystyle M\) проецируется в точку \( \displaystyle K\) – середину отрезка \( \displaystyle OE\).
И теперь \( \displaystyle FK\) – это проекция \( \displaystyle FM\), а искомый угол между прямой \( \displaystyle FM\) и плоскостью основания – это \( \displaystyle \angle MFK\).
Ищем этот угол. Пусть стороны основания равны какому – то \( \displaystyle a\), тогда боковые рёбра – \( \displaystyle 3a\). Заметь, что \( \displaystyle \Delta MFK\) – прямоугольный и в этом треугольнике нам нужно найти острый угол.
Проще всего найти тангенс этого угла.
Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
Решение задачи алгебраическим методом (методом координат)
Тогда координаты точки \( \displaystyle F(\frac<2>;
Координаты точки \( \displaystyle M\):
Уравнение плоскости \( \displaystyle ABCDEF:Z=0\)
Значит, применяется формула вычисления угла между прямой и плоскостью:
Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
Все зависит от задачи. Поэтому важно научиться пользоваться двумя методами.
Бонусы: вебинары из нашего курса по подготовке к ЕГЭ по математике
ЕГЭ 14. Стереометрия. Расстояние между точками и от точки до прямой
Расстояние между точками и от точки до прямой — это первое видео раздела «Стереометрия», входящее в полный курс подготовки к ЕГЭ (о нем ниже).
В этом видео мы научимся «видеть» 3-мерное пространство и изображать 3-мерные объекты на бумаге (то есть на плоской поверхности).
Затем мы научимся двум основным вещам — находить расстояние между точками на таких рисунках, а также расстояние от точки до прямой.
На этих умениях строится всё дальнейшее изучение стереометрии. В общем это очень важное, базовое видео, с которого нужно начинать изучение стереометрии.
Не перескакивайте, не пропускайте его! Даже если вы знаете стереометрию, вы найдете для себя очень много полезного и нового в этом видео.
ЕГЭ №14. Стереометрия. Разбор варианта профильного ЕГЭ
Нужно великолепно знать основные теоремы планиметрии, уметь рассчитывать расстояния, площади и объемы плоских и объемных фигур.
Но самое сложное, нужно научиться строить доказательства с помощью этих теорем и правильно их записывать.
Об этом в нашем вебинаре в задаче о шестиугольной призме.
ЕГЭ 14 Стереометрия. Разбора задачи статграда, февраль 2021
Что проще: призма или пирамида? Хоть в призме и больше рёбер и граней, но с пирамидами справляться сложнее, причём прямо начиная с рисунка: все линии налезают друг на друга, ничего нигде не параллельно, в общем, лучше бы призму дали.
Но как только научились рисовать пирамиду, сразу всё стало проще: кругом одни треугольники, а как известно, фигур проще треугольника в геометрии найти не так-то просто
А если где прямые углы найдём, то вообще сказка.
Из этого видео вы узнаете, как правильно рисовать пирамиду и научитесь решать задачу №14 из февральского СтатГрада
Источник
Угол между прямой и плоскостью. Перпендикулярность прямой и плоскости
Если две прямые лежат в одной плоскости, угол между ними легко измерить — например, с помощью транспортира. А как измерить угол между прямой и плоскостью?
Пусть прямая пересекает плоскость, причем не под прямым, а под каким-то другим углом. Такая прямая называется наклонной.
Опустим перпендикуляр из какой-либо точки наклонной на нашу плоскость. Соединим основание перпендикуляра с точкой пересечения наклонной и плоскости. Мы получили проекцию наклонной на плоскость.
Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на данную плоскость.
Обратите внимание — в качестве угла между прямой и плоскостью мы выбираем острый угол.
Если прямая параллельна плоскости, значит, угол между прямой и плоскостью равен нулю.
Если прямая перпендикулярна плоскости, ее проекцией на плоскость окажется точка. Очевидно, в этом случае угол между прямой и плоскостью равен 90°.
Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Это определение. Но как же с ним работать? Как проверить, что данная прямая перпендикулярна всем прямым, лежащим в плоскости? Ведь их там бесконечно много.
На практике применяется признак перпендикулярности прямой и плоскости:
Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.
Источник
Угол между прямой и плоскостью – определение, примеры нахождения.
Начнем эту статью с определения угла между прямой и плоскостью. После этого покажем, как находится угол между прямой и плоскостью методом координат, подробно разберем решения характерных примеров и задач.
Навигация по странице.
Прежде чем говорить об определении угла между прямой и плоскостью, рекомендуем освежить в памяти понятие прямой линии в пространстве и понятие плоскости.
Чтобы определить угол между прямой и плоскостью нам потребуется несколько вспомогательных определений. Дадим эти определения.
Прямая и плоскость пересекаются, если они имеют одну единственную общую точку, которую называют точкой пересечения прямой и плоскости.
При этом прямая, которая пересекает плоскость, может быть перпендикулярна к этой плоскости.
Прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Проекцией прямой a на плоскость называют множество проекций всех точек прямой a на плоскость
.
Теперь нам достаточно сведений, чтобы дать определение угла между прямой и плоскостью.
Определение угла между прямой и плоскостью позволяет заключить, что угол между прямой и плоскостью представляет собой угол между двумя пересекающимися прямыми: самой прямой и ее проекцией на плоскость. Следовательно, угол между прямой и плоскостью есть острый угол.
Угол между перпендикулярными прямой и плоскостью считают равным , а угол между параллельными прямой и плоскостью либо не определяют вовсе, либо считают равным
.
Нахождение угла между прямой и плоскостью.
Условия задач, в которых приходится отыскивать угол между прямой и плоскостью, достаточно разнообразны. В зависимости от исходных данных, приходится подбирать соответствующий метод решения. Часто справиться с задачей нахождения угла между прямой и плоскостью помогают признаки равенства или подобия фигур, теорема косинусов и определения синуса, косинуса и тангенса угла. Также можно найти угол между прямой и плоскостью методом координат. Остановимся на нем подробнее.
Начнем с начальных данных, от которых мы будем отталкиваться при определении угла между прямой и плоскостью методом координат.
Осталось получить формулу, которая позволят вычислять угол между прямой и плоскостью по известным координатам направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости.
Отложим векторы и
от точки пересечения прямой a и плоскости
. В зависимости от координат векторов
и
возможны четыре варианта расположения этих векторов относительно заданных прямой и плоскости. Изобразим их на чертеже.
Очевидно, если угол между векторами и
(обозначим его
) острый, то он дополняет искомый угол
между прямой и плоскостью до прямого угла, то есть,
. Если же
, то
.
Так как косинусы равных углов равны, то последние равенства можно записать следующим образом:
Формулы приведения приводят нас к равенствам , которые после преобразований принимают вид
То есть, синус угла между прямой и плоскостью равен модулю косинуса угла между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости.
В разделе нахождение угла между двумя векторами мы выяснили, что угол между векторами равен отношению скалярного произведения векторов и произведения длин этих векторов, тогда для вычисления синуса угла между прямой и плоскостью справедлива формула .
Следовательно, формула для вычисления угла между прямой и плоскостью по координатам направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости имеет вид .
Основное тригонометрическое тождество позволяет найти косинус угла при известном синусе. Так как угол между прямой и плоскостью острый, то косинус этого угла является положительным числом и вычисляется по формуле .
Теперь мы можем находить синус угла, косинус угла и сам угол между прямой и плоскостью по полученным формулам. Решим несколько характерных примеров.
Найдите угол, синус и косинус угла между прямой и плоскостью
.
Канонические уравнения прямой в пространстве позволяют сразу получить координаты направляющего вектора – их дают числа в знаменателях дробей. То есть, — направляющий вектор прямой
.
Подставляем координаты векторов и
в формулу для вычисления синуса угла между прямой и плоскостью:
Тогда и
.
Чтобы вычислить угол между прямой и плоскостью по полученной формуле, нам нужно знать координаты направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости. Направляющим вектором прямой AD является вектор .
Нормальный вектор плоскости АВС перпендикулярен и вектору
и вектору
, то есть, в качестве нормального вектора плоскости АВС можно взять векторное произведение векторов
и
:
Осталось подставить координаты векторов в формулу и вычислить требуемый угол между прямой и плоскостью:
Источник
Нахождение угла между прямой и плоскостью
\(\blacktriangleright\) Угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость (т.е. это угол \(0\leqslant \alpha\leqslant 90^\circ\) ).
\(\blacktriangleright\) Чтобы найти угол между прямой \(a\) и плоскостью \(\phi\) ( \(a\cap\phi=B\) ), нужно:
Шаг 1: из какой-то точки \(A\in a\) провести перпендикуляр \(AO\) на плоскость \(\phi\) ( \(O\) – основание перпендикуляра);
Шаг 2: тогда \(BO\) – проекция наклонной \(AB\) на плоскость \(\phi\) ;
Проведем перпендикуляр \(OH\) на плоскость треугольника.
Тогда из прямоугольного \(\triangle NBM\) : \[\mathrm
Учащимся старших классов на этапе подготовки к ЕГЭ по математике будет полезно научиться справляться с заданиями из раздела «Геометрия в пространстве», в которых требуется найти угол между прямой и плоскостью. Опыт прошлых лет показывает, что подобные задачи вызывают у выпускников определенные сложности. При этом знать базовую теорию и понимать, как найти угол между прямой и плоскостью, должны старшеклассники с любым уровнем подготовки. Только в этом случае они смогут рассчитывать на получение достойных баллов.
Основные нюансы
Как и другие стереометрические задачи ЕГЭ, задания, в которых требуется найти углы и расстояния между прямыми и плоскостями, могут быть решены двумя методами: геометрическим и алгебраическим. Учащиеся могут выбрать наиболее удобный для себя вариант. Согласно геометрическому методу, необходимо найти на прямой подходящую точку, опустить из нее перпендикуляр на плоскость и построить проекцию. После этого выпускнику останется применить базовые теоретические знания и решить планиметрическую задачу на вычисление угла. Алгебраический метод предполагает введение системы координат для нахождения искомой величины. Необходимо определить координаты двух точек на прямой, правильно составить уравнение плоскости и решить его.
Эффективная подготовка вместе со «Школково»
Чтобы занятия проходили легко и даже сложные задания не вызывали затруднений, выбирайте наш образовательный портал. Здесь представлен весь необходимый материал для успешной сдачи аттестационного испытания. Нужную базовую информацию вы найдете в разделе «Теоретическая справка». А для того чтобы попрактиковаться в выполнении заданий, достаточно перейти в «Каталог» на нашем математическом портале. В этом разделе собрана большая подборка упражнений разной степени сложности. В «Каталоге» регулярно появляются новые задания.
Выполнять задачи на нахождение угла между прямой и плоскостью или на нахождение угла между прямыми, российские школьники могут в режиме онлайн, находясь в Москве или другом городе. По желанию учащегося любое упражнение можно сохранить в «Избранное». Это позволит при необходимости быстро его найти и обсудить ход его решения с преподавателем.
Источник
Угол между прямой и плоскостью
Формула вычисления угла между прямой и плоскостью
Если в пространстве заданы направляющий вектор прямой L
и уравнение плоскости
A x + B y + C z + D = 0,
то угол между этой прямой и плоскостью можно найти используя формулу
Вывод формулы для вычисления угла между прямой и плоскостью
Из уравнения прямой можно найти направляющий вектор прямой
Из уравнения плоскости вектор нормали плоскости имеет вид
Из формул скалярного произведения векторов найдем косинус угла между нормалью к плоскости и направляющим вектором прямой
cos ψ = | | q · s | |
| s | · | q | |
Расписав скалярное произведение векторов и модуль векторов через их координаты, получим формулу для вычисления угла между прямой и плоскостью.
Пример вычисления угла между прямой и плоскостью
Из уравнения прямой найдем направляющий вектор прямой
Из уравнения плоскости найдем вектор нормали плоскости
Воспользовавшись формулой, найдем угол между прямой и плоскостью
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
Источник