что такое угловой момент вращения

Угловой момент

В общем случае угловой момент можно рассчитать как векторное произведение вектора положения и количества движения тела: р → <\ displaystyle <\ vec >> svgп → <\ displaystyle <\ vec

>> svg

Оглавление

Определение и иллюстрация

220px Right hand grip rule.svg

Л. → знак равно р → × п → <\ displaystyle <\ vec > = <\ vec > \ times <\ vec

>> svg

Момент импульса растет вместе с ним.

Вектор углового момента указывает направление, в котором правый винт двигался бы вперед с тем же направлением вращения. Применяется правило штопора или правило правого кулака: когда изогнутые пальцы правой руки указывают направление вращательного движения, большой палец указывает в направлении углового момента (см. Рисунок). Тот факт, что для этого правила должна использоваться правая рука, а не левая, обусловлен определением перекрестного произведения двух векторов.

Момент количества движения протяженного тела к определенной контрольной точке получается путем формирования момента количества движения его массовых точек в этой контрольной точке и их векторного сложения.

Сохранение углового момента

Сохранение углового момента применимо к любой физической системе (например, также к электромагнитным полям) и может быть получено с помощью теоремы Нётер из того факта, что физические законы не зависят от ориентации рассматриваемой системы в пространстве.

Смещение, вращение, отражение

370px Angular momentum as pseudo vector

Величина и направление углового момента точечной массы зависят от того, какая точка выбрана в качестве точки отсчета. При смещении опорной точки вектор каждого местоположения изменяется на, а угловой момент изменяется на Икс → ′ знак равно Икс → + а → <\ displaystyle <\ vec > ^ <\, \ prime>= <\ vec > + <\ vec >> svg

Перекрестное произведение двух векторов всегда перпендикулярно плоскости, охватываемой ими, но вращение рассматриваемой системы поворачивает как векторы положения, так и путевые скорости на одинаковую величину, что также поворачивает угловой момент таким же образом.

Теорема Эйлера об угловом моменте

Теорема об угловом моменте получается, когда угловой момент выводится из времени, например, с точечной массой в местоположении : Икс → <\ displaystyle <\ vec >> svg

В результате угловой момент вокруг центра остается постоянным во времени. В частности, это относится к движениям планет вокруг центральной звезды.

Плоский путь, набор площадей

Если момент количества движения точечной массы (например, Земли, вращающейся вокруг Солнца) всегда сохраняет исходное значение, то путь точечной массы проходит по плоскости.

Икс → ( т ) ⋅ Л. → ( 0 ) знак равно 0. <\ displaystyle <\ vec > (t) \ cdot <\ vec > (0) = 0.> svg

Это движение в плоскости через центр масс системы перпендикулярно угловому моменту.

Затем применяется второй закон Кеплера (также называемый законом площадей): луч к планете одновременно проходит по областям одинакового размера.

Угловой момент твердого тела.

Угловой момент тела складывается из угловых моментов его компонентов:

Л. → знак равно ∑ п м п Икс → п × Икс → ˙ п <\ displaystyle <\ vec > = \ sum _ m_ \, <\ vec > _ \ times <\ dot <\ vec >> _ > svg

или для тела с непрерывным распределением масс интеграл:

Вывод

При выводе используются различные изменения, тождество Грассмана (формула BAC-CAB) и определение центра масс:

Собственный угловой момент

Угловой момент в теории относительности

Источник

Угловой момент

momento angular

В этой статье мы расскажем вам все, что вам нужно знать об угловом моменте, чтобы его можно было использовать в физике.

Что такое угловой момент

momento angular trompo

Когда мы пытаемся вычислить это для некоторого объекта, который находится в движении вокруг оси, всегда необходимо удобно указать ось вращения. Мы собираемся начать измерения с материальной точки массой m, угловой момент записывается аббревиатурой L. Импульс равен p, а положение частицы относительно оси, проходящей через определенную точку O, равно r.

Вот как мы это вычислили следующим образом: L = rxp

Реактор, полученный в результате векторного произведения, перпендикулярен плоскости, образованной участвующими векторами. Это означает, что направление имеет смысл, который можно найти с помощью правила правой руки для перекрестного произведения. Угловой момент измеряется в кг на квадратный метр в секунду. Он измеряется по международной системе единиц и не имеет особых названий.

Это определение углового момента имеет наибольший смысл для тел, состоящих из многих частиц.

Величина углового перемещения

giros de patinadora

В случае частицы, которая движется по окружности, угол составляет 90 градусов. Это связано с тем, что скорость углового момента всегда касается окружности и, следовательно, перпендикулярна радиусу.

Когда мы говорим об угловом моменте, мы также говорим о моменте инерции. Это не более чем то, что описано, когда твердое тело обладает инерцией собственного тела против вращения вокруг определенной оси. Этот момент инерции зависит не только от массы тела, но и от расстояния от самого тела до оси вращения. Это можно будет легче понять, если мы подумаем, что некоторые объекты легче вращать относительно других на той же оси. Это зависит от образования и структуры самого объекта.

Для системы частиц момент инерции обозначается буквой I и рассчитывается по следующей формуле:

Угловой момент системы частиц

gatos caen de pie

Мы собираемся рассмотреть систему частиц, которая состоит из разных масс и вращается по одной окружности одновременно в плоскости xy, каждая из которых имеет линейную скорость, которая связана с угловой скоростью. Таким образом можно рассчитать общую сумму системы, которая определяется следующим образом:

Расширенное тело его можно разделить на кусочки, каждый с разным угловым моментом. Если ось симметрии рассматриваемого объекта совпадает с осью z, проблем нет. И это потому, что есть точки, которые не находятся в плоскости xy, поэтому составляющие ее компоненты, перпендикулярные этой оси, взаимно компенсируются.

Посмотрим теперь, когда это изменится. Обычно, когда результирующая сила действует на тело или частицу, импульс этого конкретного может измениться. Следовательно, будет и угловой момент.

С другой стороны, сохранение происходит при изменении существующего измерителя крутящего момента. Если этот крутящий момент равен нулю, угловой момент постоянно сохраняется. Этот результат остается в силе, даже если тело не полностью жесткое.

Примеры углового момента

Все это было теоретическим и не могло быть хорошо понято без практических примеров. Давайте посмотрим на практические примеры углового момента. В первом есть фигурное катание и другие виды спорта, где есть повороты. Когда фигуристка начинает поворачиваться, она вытягивает руки, а затем прижимает нас к нашему телу, чтобы скрестить ноги. Это сделано для увеличения скорости поворота. Когда тело постоянно колеблется, оно сжимается. Благодаря этому сокращению он может увеличивать скорость своего вращения. Это связано с тем, что способность сокращать руки и ноги также снижает момент инерции. Поскольку угловой момент сохраняется, угловая скорость увеличивается.

Я надеюсь, что с этой информацией вы сможете узнать о ней больше.

Содержание статьи соответствует нашим принципам редакционная этика. Чтобы сообщить об ошибке, нажмите здесь.

Источник

Угловой момент (квантовая механика)

Особенностью углового момента является то, что его составляющие несоизмеримы, т.е. не могут быть измерены одновременно. Поэтому невозможно, чтобы две компоненты углового момента с фиксированными квантовыми числами присутствовали одновременно. Напротив, количество углового момента и любой компонент можно измерить одновременно.

Читайте также:  качество кулирки ое что такое

Содержание

Определения

Оператор углового момента

Поскольку различные компоненты углового момента не коммутируют, они несоизмеримы. Квадрат оператора углового момента

однако он коммутирует со всеми компонентами

и поэтому может измеряться одновременно с любым компонентом. Как правило, система координат выбирается такой, чтобы и были указаны. J 2 <\ displaystyle J ^ <2>> svgJ 3 <\ displaystyle J_ <3>> svg

Лестничные операторы

Взаимно сопряженные лестничные операторы могут быть построены из оператора углового момента : J ± <\ displaystyle J _ <\ pm>> svg

определены. Их коммутаторные соотношения

Орбитальный угловой момент

Л. → знак равно р → × п → <\ displaystyle <\ vec > = <\ vec > \ times <\ vec

>> svg,

( Л. → ⋅ р → ) знак равно ( Л. → ⋅ п → ) знак равно 0 <\ Displaystyle (<\ vec > \ cdot <\ vec >) = (<\ vec > \ cdot <\ vec

>) = 0> svg

Собственный угловой момент

характеристики

Спектр и квантование

Выравнивание и квантование направления

| ⟨ J → ⟩ | знак равно ℏ | м | <\ displaystyle | \ langle <\ vec > \ rangle | = \ hbar | m |> svg

Следующее применяется к квадратам операторов для компонентов x и y и их ожидаемых значений.

Четкое поведение при повороте и зеркальном отображении

Состояния в отличие от восприятия

Разница между орбитальным и собственным угловым моментом

Представления

Представление местоположения орбитального углового момента

Квадрат оператора орбитального углового момента имеет вид в сферических координатах

Собственные состояния углового момента в позиционном представлении являются, соответственно, функциями сферической поверхности

Лестничные операторы получаются в сферических координатах путем вставки в определение и формулы Эйлера в

Матричный дисплей

Два оператора лестницы:

Оператор спина для частицы со спином 1/2 может служить примером для матричного представления. В частности, этот оператор спина не имеет позиционного представления. Один находит

Операторы углового момента и группа вращения

Элементы группы Ли получаются применением экспоненты к элементам алгебры Ли, в данном случае это

Соответствующий элемент группы Ли есть

Общий поворот можно, например, параметризовать с помощью трех углов Эйлера :

и с помощью формулы Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа его можно переписать в одну экспоненту по сумме операторов углового момента с соответствующими коэффициентами. Если общее вращение представлено направлением оси и величиной угла поворота, суммированной в векторе, результат соответствует простому оператору вращения вокруг оси. α → <\ displaystyle <\ vec <\ alpha>>> svg

Р. ( α → ) знак равно exp ⁡ ( я ℏ α → ⋅ J → ) <\ displaystyle R (<\ vec <\ alpha>>) = \ exp (<\ tfrac <\ mathrm > <\ hbar>> <\ vec <\ alpha>> \ cdot <\ vec > )> svg.

Добавление углового момента

Теперь соедините два угловых момента, чтобы сформировать полный угловой момент:

J → знак равно J → 1 + J → 2 <\ displaystyle <\ vec > = <\ vec > _ <1>+ <\ vec > _ <2>> svg

Спин-орбитальная связь

Спин 1/2 связан с орбитальным угловым моментом.

J → знак равно Л. → + С. → <\ displaystyle <\ vec > = <\ vec > + <\ vec >> svg

Коэффициенты определяются из требования ортонормированности состояний:

Спин-спиновая связь

В следующих двух 1/2 спина связаны.

С. → знак равно С. → 1 + С. → 2 <\ displaystyle <\ vec > = <\ vec > _ <1>+ <\ vec > _ <2>> svg

Источник

Лекция №5. ДИНАМИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА

4.1. Динамика поступательного движения твердого тела.

Движение любого твердого тела можно рассматривать как сумму поступательного движения его центра масс и вращательного движения относительно оси, проходящей через его центр масс.

4.1.1

Также можно воспользоваться понятием центра масс и к поступательному движению твердого тела применить закон движения центра масс

4.1.2

Центр масс твердого тела движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса тела, и на которую действуют все силы, приложенные к телу. Уравнение (4.1.2) дает возможность установить закон движение центра масс твердого тела, если известна масса тела и действующие на него силы. Если тело движется только поступательно, то это уравнение будет определять не только закон движения центра масс, но и любой другой точки тела.

4.2. Момент импульса. Момент силы.

Момент силы. Векторная величина, равная векторному произведению радиус-вектора r точки, проведенному из полюса в точку приложения силы, на силу F называется моментом силы материальнойточки относительно некоторого центра

4.2.1

4.2.1g

4.2.2

Плечо силы − это расстояние, измеряемое по перпендикуляру от оси вращения до линии, вдоль которой действует сила.

Если на тело действует несколько сил, то суммарный момент этих сил равен векторной сумме моментов всех сил относительно данной оси:

4.2.3

Момент импульса. Векторная величина, равная векторному произведению радиус-вектора r точки, проведенного из центра на ее импульс m υ называется моментом импульса материальной точки относительно некоторого центра

4.2.3

4.2.2g

4.2.5

Плечо импульса − это расстояние, измеряемое по перпендикуляру от оси вращения до линии, вдоль которой направлен импульс.

Таким образом, модуль вектора момента импульса относительно центра или оси − есть скалярная величина, равная произведению импульса p на плечо импульса d относительно этой оси.

Моментом импульса механической системы относительно некоторого центра называется векторная величина, равная геометрической сумме моментов импульса относительно той же точки всех материальных точек системы

4.2.6

4.3. Основное уравнение динамики вращательного движения относительно точки.

Запишем уравнения движения частиц:

4.3.3

Умножим каждое уравнение системы (4.3.3) на соответствующий радиус-вектор и получим

4.3.4

4.3.4.1

Преобразуем данные уравнения

4.3.5

Сложим эти уравнения и получим

4.3.6

В последнем уравнении:

Таким образом, выражение (4.3.6) можно записать в виде

4.3.7

4.3.8

4.4. Закон сохранения момента импульса.

4.4.1

закон сохранения момента импульса.

Если момент внешних сил действующих на механическую систему относительно центра оси равен нулю, то момент импульса системы относительно этого центра с течением времени не изменяется.

Можно сказать, что момент силы при вращательном движении является аналогом силы при поступательном движении, момент импульса − аналогом импульса.

Законы изменения и сохранения момента импульса механической системы можно применить и к вращательному движению твердого тела.

4.5. Момент инерции.

Моментом инерции твердого тела относительно данной оси называется физическая величина, являющаяся мерой инертности тела во вращательном движении вокруг этой оси и равная сумме произведений масс всех частиц тела на квадраты их расстояний от той же оси:

4.5.1

Понятие момента инерции было введено при рассмотрении вращения твердого тела. Однако следует иметь в виду, что каждое тело, независимо от того, вращается оно или покоится, обладает определенным моментом инерции относительно любой оси.

Если тело сплошное, то суммирование в выражении (4.5.1) следует заменить на интегрирование:

4.5.2

где R − расстояние от элементарной массы dm до оси вращения.

4.6. Теорема Штейнера. Правило аддитивности

Существуют два свойства момента инерции:

1) Теорема Штейнера: момент инерции тела Iz относительно произвольной оси равен сумме момента инерции Ic относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния a между осями:

4.6.1

2) Правило аддитивности: сумма моментов инерции частей системы относительно оси равен моменту инерции системы относительно данной оси:

Читайте также:  что такое трафик категории 900

Источник

Вращающий момент через угловую скорость

В этой статье речь пойдет о физических величинах, которые характеризуют вращательное движение тела: угловая скорость, угловое перемещение, угловое ускорение, момент сил.

790469

Твердым телом называют совокупность жестко связанных материальных точек. Когда твердое тело производит вращение относительно какой-либо оси, отдельные материальные точки, из которых оно складывается, двигаются по окружностям разных радиусов.

За определенный промежуток времени, например, за которое тело совершит один оборот, отдельные материальные точки, из которых состоит твердое тело, пройдут разные пути, следовательно, отдельные точки будут иметь разные линейные скорости. Описывать вращение твердого тела с помощью линейных скоростей отдельных материальных точек — сложно.

Угловое перемещение

Однако, анализируя движение отдельных материальных точек, можно установить, что за одинаковый промежуток времени все они поворачиваются вокруг оси на одинаковый угол. То есть для описания вращения твердого тела удобно пользоваться такой физической величиной, как угловое перемещение:

Угловая скорость и угловое ускорение

Вращательное движение можно охарактеризовать угловой скоростью: ω = ∆φ/∆t.

Угловая скорость характеризует скорость вращения тела и равняется отношению изменения угла поворота ко времени, за которое оно произошло. Измеряется в радианах за секунду: [ω] = рад/с.

Угловая скорость вращения связана с линейной скоростью следующим соотношением: v = Rω, где R – радиус окружности, по которой двигается тело.

790457

Угловая скорость и угловое ускорение являются псевдовекторами, направление которых зависит от направления вращения. Его можно определить по правилу правого винта.

Равномерное вращательное движение

Равномерное вращательное движение осуществляется с постоянной угловой скоростью и описывается такими уравнениями: ε = 0, ω = const, φ = φ + ωt, где φ – начальное значение угла поворота.

Равноускоренное вращательное движение

Равноускоренное вращательное движение происходит с постоянным угловым ускорением и описывается такими уравнениями: ε = const, ω = ω + εt, φ = φ + ω t + εt 2 /2.

790472

Во время вращения твердого тела центростремительное ускорение каждой точки этого тела можно найти так: ɑц = v 2 /R = (ωR) 2 /R = ω 2 R.

Когда вращение твердого тела ускоренное, можно найти тангенциальное ускорение его точек по формуле: ɑt = ∆v/∆t= ∆(ωR)/∆t= R(∆ω/∆t) = Rε.

Момент сил

Если, рассматривая физическую проблему, мы имеем дело не с материальной точкой, а с твердым телом, то действие нескольких сил на него, приложенных к различным точкам этого тела, нельзя свести к действию одной силы. В этом случае рассматривают момент сил.

790480

Моментом силы называют произведение силы на плечо. Это векторная величина, и ее находят по формуле: M = RFsinα, где α — угол между векторами R и F. Если на тело действует несколько моментов сил, то их действие можно заменить их равнодействующей, векторной суммой этих моментов: M = M1 + M2 + …+ Mn.

Эксперименты и опыт показывают, что под действием момента силы угловая скорость тела меняется, то есть тело имеет угловое ускорение. Выясним, как зависит угловое ускорение материальной точки (совокупности материальных точек) от приложенного момента сил: F = mɑ, RF = Rma = R 2 mβ, β= M/mR 2 = M/I, где I = mR 2 — момент инерции материальной точки. Заметим, что момент инерции тела имеет зависимость как от массы тела, так и от расположения этой массы относительно оси вращения.

Примеры решения задач

Задача 1. Ротор центрифуги делает 2•10 4 об/мин. После того как выключили двигатель, его вращение прекращается через 8 мин. Найдите угловое ускорение, а также число оборотов, которое совершает ротор с момента выключения двигателя до его полной остановки, считая, что движение ротора равноускоренное.

Найдем угловое ускорение, учитывая, что угловая скорость при равноускоренном движении описывается уравнением: ω(t) = ω — εt.

Отсюда, учитывая, что в конце движения скорость равна нулю, найдем: ε = ω /t = 2πn/t.

Переведя данные задачи в систему единиц СИ (n = 333 об/с; t = 480 с), получим: ε = 2π333/480 = 4,36(рад/с 2 ).

Угол поворота ротора центрифуги за время t будет: φ(t)= φ + ω t + εt 2 /2. Учитывая выражение для углового ускорения и то, что φ = 0, находим: φ(t)= ω t/2 = πnt.

Количество оборотов ротора за это время будет: N = φ(t)/2π = πnt/2π = nt = 8•10 4 (об.).

Ответ: угловое ускорение равно 4,36 рад/с 2 ; количество оборотов, сделанное ротором с момента выключения двигателя до его полной остановки, равно 8•10 4 об.

Задача 2. Диск, имеющий массу 1 кг и радиус 20 см, вращается с частотой 120 об. в минуту. Под действием тормозного устройства на край диска начала действовать сила трения 10 Н. Найдите время остановки диска, после того как на него стала действовать сила трения.

Найдем тормозной момент сил, действующий на диск: M = RF.

Найдем угловое ускорение диска: ε = M/I = FR/mR 2 = F/mR.

Найдем время, за которое диск остановится: t = ω /ε, где ω — начальная угловая скорость диска, которая равна 2πv.

Сделаем вычисления: t = 2πv/ ε = 2πvmR/F = 6,28•2•1•0,2/10 = 2,5 (с).

Ответ: время остановки равно 2,5 с.

В этой статье речь пойдет о физических величинах, которые характеризуют вращательное движение тела: угловая скорость, угловое перемещение, угловое ускорение, момент сил.

790469

Твердым телом называют совокупность жестко связанных материальных точек. Когда твердое тело производит вращение относительно какой-либо оси, отдельные материальные точки, из которых оно складывается, двигаются по окружностям разных радиусов.

За определенный промежуток времени, например, за которое тело совершит один оборот, отдельные материальные точки, из которых состоит твердое тело, пройдут разные пути, следовательно, отдельные точки будут иметь разные линейные скорости. Описывать вращение твердого тела с помощью линейных скоростей отдельных материальных точек — сложно.

Угловое перемещение

Однако, анализируя движение отдельных материальных точек, можно установить, что за одинаковый промежуток времени все они поворачиваются вокруг оси на одинаковый угол. То есть для описания вращения твердого тела удобно пользоваться такой физической величиной, как угловое перемещение:

Угловая скорость и угловое ускорение

Вращательное движение можно охарактеризовать угловой скоростью: ω = ∆φ/∆t.

Угловая скорость характеризует скорость вращения тела и равняется отношению изменения угла поворота ко времени, за которое оно произошло. Измеряется в радианах за секунду: [ω] = рад/с.

Угловая скорость вращения связана с линейной скоростью следующим соотношением: v = Rω, где R – радиус окружности, по которой двигается тело.

790457

Угловая скорость и угловое ускорение являются псевдовекторами, направление которых зависит от направления вращения. Его можно определить по правилу правого винта.

Равномерное вращательное движение

Равномерное вращательное движение осуществляется с постоянной угловой скоростью и описывается такими уравнениями: ε = 0, ω = const, φ = φ + ωt, где φ – начальное значение угла поворота.

Равноускоренное вращательное движение

Равноускоренное вращательное движение происходит с постоянным угловым ускорением и описывается такими уравнениями: ε = const, ω = ω + εt, φ = φ + ω t + εt 2 /2.

790472

Во время вращения твердого тела центростремительное ускорение каждой точки этого тела можно найти так: ɑц = v 2 /R = (ωR) 2 /R = ω 2 R.

Когда вращение твердого тела ускоренное, можно найти тангенциальное ускорение его точек по формуле: ɑt = ∆v/∆t= ∆(ωR)/∆t= R(∆ω/∆t) = Rε.

Момент сил

Если, рассматривая физическую проблему, мы имеем дело не с материальной точкой, а с твердым телом, то действие нескольких сил на него, приложенных к различным точкам этого тела, нельзя свести к действию одной силы. В этом случае рассматривают момент сил.

Читайте также:  слабое контрацептивное действие что это значит

790480

Моментом силы называют произведение силы на плечо. Это векторная величина, и ее находят по формуле: M = RFsinα, где α — угол между векторами R и F. Если на тело действует несколько моментов сил, то их действие можно заменить их равнодействующей, векторной суммой этих моментов: M = M1 + M2 + …+ Mn.

Эксперименты и опыт показывают, что под действием момента силы угловая скорость тела меняется, то есть тело имеет угловое ускорение. Выясним, как зависит угловое ускорение материальной точки (совокупности материальных точек) от приложенного момента сил: F = mɑ, RF = Rma = R 2 mβ, β= M/mR 2 = M/I, где I = mR 2 — момент инерции материальной точки. Заметим, что момент инерции тела имеет зависимость как от массы тела, так и от расположения этой массы относительно оси вращения.

Примеры решения задач

Задача 1. Ротор центрифуги делает 2•10 4 об/мин. После того как выключили двигатель, его вращение прекращается через 8 мин. Найдите угловое ускорение, а также число оборотов, которое совершает ротор с момента выключения двигателя до его полной остановки, считая, что движение ротора равноускоренное.

Найдем угловое ускорение, учитывая, что угловая скорость при равноускоренном движении описывается уравнением: ω(t) = ω — εt.

Отсюда, учитывая, что в конце движения скорость равна нулю, найдем: ε = ω /t = 2πn/t.

Переведя данные задачи в систему единиц СИ (n = 333 об/с; t = 480 с), получим: ε = 2π333/480 = 4,36(рад/с 2 ).

Угол поворота ротора центрифуги за время t будет: φ(t)= φ + ω t + εt 2 /2. Учитывая выражение для углового ускорения и то, что φ = 0, находим: φ(t)= ω t/2 = πnt.

Количество оборотов ротора за это время будет: N = φ(t)/2π = πnt/2π = nt = 8•10 4 (об.).

Ответ: угловое ускорение равно 4,36 рад/с 2 ; количество оборотов, сделанное ротором с момента выключения двигателя до его полной остановки, равно 8•10 4 об.

Задача 2. Диск, имеющий массу 1 кг и радиус 20 см, вращается с частотой 120 об. в минуту. Под действием тормозного устройства на край диска начала действовать сила трения 10 Н. Найдите время остановки диска, после того как на него стала действовать сила трения.

Найдем тормозной момент сил, действующий на диск: M = RF.

Найдем угловое ускорение диска: ε = M/I = FR/mR 2 = F/mR.

Найдем время, за которое диск остановится: t = ω /ε, где ω — начальная угловая скорость диска, которая равна 2πv.

Сделаем вычисления: t = 2πv/ ε = 2πvmR/F = 6,28•2•1•0,2/10 = 2,5 (с).

Ответ: время остановки равно 2,5 с.

Движение твердого тела, при котором все его точки перемещаются по окружности, центры которой расположены на перпендикулярной этим окружностям неподвижной прямой, называется вращательным. Неподвижная прямая, на которой лежат центры круговых траекторий то­чек тела, называется его осью вращения. Для образования оси вра­щения достаточно закрепить какие-либо две точки тела. В качестве примеров вращательного движения тел можно привести движение две­рей или створок окон при их открывании или закрывании.

Представим себе тело в виде цилиндра, ось AB которого лежит в подшипниках (рис. 7.3).

img P5oHZq

Рис. 7.3. К анализу вращательного движения твердого тела

Движением одной какой-либо точки однозначно определить вращательное движение тела нельзя.

Для установления закона вращательного движения тела, по кото­рому можно определять его положение в данный момент, проведем через ось вращения тела связанную только с нею неподвижную полуплоскость НП, а внутри тела отметим подвижную полуплоскость, ко­торая вращается около оси вместе с телом, теперь угол φ, образуемый в каждый данный момент времени полуплоскостями НП и ПП, точно определяет положение тела в пространстве (см. рис. 7.3). Угол φ называется углом поворота и выражается в радианах. Чтобы определять положение тела в пространстве в любой момент времени, необходимо знать зависимость между углом поворота φ и временем t, т. е. знать закон вращательного движения тела:

img e49A7j

Быстрота изменения угла поворота во времени характеризуется величиной, которая называется угловой скоростью.

Представим, что в некоторый момент времени t положение вращающегося тела определяется углом поворота φ, а в момент t + Δt – углом поворота φ + Δ φ. Следовательно, за время Δt тело повернулось на угол Δ φ, и величина

img Mdmp1R

называется средней угловой скоростью.

img UUbyAo

Единицей угловой скорости является 1 рад/с. Характеристикой быстроты изменения угловой скорости служит угловое ускорение, обозначаемое img mXnFin. Среднее ускорение img YPeEz;

img aOS619.

Условимся угол поворота, отсчитываемый против хода часовой стрелки, считать положительным, а отсчитываемый по ходу часовой стрелки – отрицательным.

img NLeoAV

Рис. 7.4. К определению вида вращательного движения

Векторы img 7hN8nhи img– это скользящие векторы, которые направлены по оси вращения, чтобы, глядя из конца вектора img NlYdOY(или img Mk5jhH), видеть вращение, происходящее против часовой стрелки.

Если векторы imgи img YbQLumнаправлены в одну сторону (рис. 7.4, а), то вращательное движение тела ускоренное – угловая скорость возрастает. Если векторы img gkzSwTи img E9VMX1направлены в противоположные стороны, то вращение тела замедленное – угловая скорость уменьшается (рис. 7.4, б).

7.3. Частные случаи вращательного движения

1. Равномерное вращательное движение. Если угловое ускорение img 2SqfYUи, следовательно, угловая скорость

img kUOsBT, (7.1)

то вращательное движение называется равномерным. Из выражения (7.1) после разделения переменных получим

img maYF6Q

Если при изменении времени от 0 до t угол поворота изменялся от φ (начальный угол поворота) до φ, то, интегрируя уравнение в этих пределах:

img s8G1U0

получаем уравнение равномерного вращательного движения

img hNkvI8,

которое в окончательном виде записывается так:

img GYyKBF.

Если img q7Cz9U, то

img GGMRn0.

Таким образом, при равномерном вращательном движении угловая скорость

img EoeLTNили при img P4iRbqimg brWBNr.

2. Равнопеременное вращательное движение. Если угловое ускорение

img embT3L(7.2)

то вращательное движение называется равнопеременным. Производя разделение переменных в выражении (7.2):

img SU1jd0

и приняв, что при изменении времени от 0 до t угловая скорость изменилась от img V1HUHd(начальная угловая скорость) до img rN 0yp, проинтегрируем уравнение в этих пределах:

img NHYfzqили img Vuu7FR,

т. е. получим уравнение

img 3hzvoU(7.3)

выражающее значение угловой скорости в любой момент времени.

Закон равнопеременного вращательного движения img FvrGVsили, с учетом уравнения (7.3):

img cpRH0o

Полагая, что в течение времени от 0 до t угол поворота изменялся от img SPoYa6доimg ZThZko, проинтегрируем уравнение в этих пределах:

imgили img Hvwdqp

Уравнение равнопеременного вращательного движения в оконча­тельном виде

img Jo7vas(7.4)

Первую вспомогательную формулу получим, исключив из формул (7.3) и (7.4) время:

img WBk69d(7.5)

Исключив из тех же формул угловое ускорение img hDVz7f, получим вторую вспомогательную формулу:

img(7.6)

где img zLoQDs– средняя угловая скорость при равнопере­менном вращательном движении.

Когда imgи img NtjRfJ, формулы (7.3)–(7.6) приобретают более простой вид:

img 4pwLuI

В процессе конструирования угловое перемещение выражают не в радианах, а просто в оборотах.

Угловая скорость, выражаемая количеством оборотов в минуту, называется частотой вращения и обозначается n. Установим зависимость между img(с –1 ) и n (мин –1 ). Так как img gTdLpL, то при n (мин –1 ) за t = 1 мин = 60 с угол поворота img wWQwUB. Следовательно:

img.

При переходе от угловой скорости img ELV1HK(с –1 ) к частоте вращения n (мин –1 ) имеем

Источник

Рейтинг
( Пока оценок нет )
Праздники по дням и их значения
Adblock
detector