что такое угловой коэффициент касательной

Уравнение касательной к графику функции (ЕГЭ 2022)

Чтобы разобраться с этой темой, нужно знать что такое производная.

Сейчас проверим, знаешь ли ты ее… 🙂

Найди приращение функции \( y=<^<2>>+2x+3\) при приращении аргумента, равном \( \Delta x\).

Должно получиться \( \Delta y=\Delta x\left( \Delta x+2x+2 \right)\).

А теперь найди производную функции \( y\left( x \right)=3<<\sin >^<2>>\sqrt\) в точке \( <_<0>>=\frac<<\pi >^<2>><16>\).

Если в каком-нибудь из этих примеров возникли сложности, настоятельно рекомендую вернуться к теме «Производная» и проштудировать ее еще раз.

Знаю, тема очень большая, но иначе нет смысла идти дальше…

А если ты справился, то в путь!

Уравнение касательной к графику функции — коротко о главном

Геометрический смысл производной

Производная функции в конкретной точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке, или угловому коэффициенту этой касательной:

Уравнение касательной

Уравнение касательной к графику функции \( f\left( x \right)\) в точке \( <_<0>>\):

Алгоритм действий для нахождения уравнения касательной

Алгоритм Пример: \( f\left( x \right)=<^<2>>-2x+3\), \( <_<0>>=3\)
1. Вычислим \( f\left( <_<0>> \right)\) \( f\left( <_<0>> \right)=f\left( 3 \right)=<<3>^<2>>-2\cdot 3+3=6\)
2. Найдем формулу производной функции \( ’\left( x \right)\) \( ’\left( x \right)=<<\left( <^<2>>-2x+3 \right)>^<\prime >>=2 -2\)
3. Вычислим \( ’\left( <_<0>> \right)\) \( ’\left( <_<0>> \right)=’\left( 3 \right)=2\cdot 3-2=4\)
4. Подставим \( <_<0>>,\text< >f\left( <_<0>> \right)\) и \( ’\left( <_<0>> \right)\) в формулу уравнения касательной \( y=’\left( <_<0>> \right)\cdot \left( x-<_<0>> \right)+f\left( <_<0>> \right)\) \( \beginy=’\left( <_<0>> \right)\cdot \left( x-<_<0>> \right)+f\left( <_<0>> \right)=\\\text< >=4\left( x-3 \right)+6=4 -12+6=\\\text< >=4 -6\end\)

Геометрический смысл производной

Если плохо разбираешься в производной, то вот тебе полноценный гид по ней, с текстом, примерами и вебинарами: «Производная функции – геометрический смысл и правила дифференцирования»!

Рассмотрим график какой-то функции \( y=f\left( x \right)\):

Выберем на линии графика некую точку \( A\). Пусть ее абсцисса \( <_<0>>\), тогда ордината равна \( f\left( <_<0>> \right)\).

Затем выберем близкую к точке \( A\) точку \( B\) с абсциссой \( <_<0>>+\Delta x\); ее ордината – это \( f\left( <_<0>>+\Delta x \right)\):

Проведем прямую через эти точки. Она называется секущей (прямо как в геометрии).

Обозначим угол наклона прямой к оси \( Ox\) как \( \alpha \).

Как и в тригонометрии, этот угол отсчитывается от положительного направления оси абсцисс против часовой стрелки.

Какие значения может принимать угол \( \alpha \)?

Как ни наклоняй эту прямую, все равно одна половина будет торчать вверх. Поэтому максимально возможный угол – \( 180<>^\circ \), а минимально возможный – \( 0<>^\circ \).

Значит, \( \alpha \in \left[ 0<>^\circ ;180<>^\circ \right)\). Угол \( 180<>^\circ \) не включается, поскольку положение прямой в этом случае в точности совпадает с \( 0<>^\circ \), а логичнее выбирать меньший угол.

Возьмем на рисунке такую точку \( C\), чтобы прямая \( AC\) была параллельна оси абсцисс, а \( BC\) – ординат:

По рисунку видно, что \( AC=\Delta x\), а \( BC=\Delta f\).

Тогда отношение приращений:

(так как \( \angle C=90<>^\circ \), то \( \triangle ABC\) – прямоугольный).

Давай теперь уменьшать \( \Delta x\).

Тогда точка \( B\) будет приближаться к точке \( A\). Когда \( \Delta x\) станет бесконечно малым \( \left( \Delta x\to 0 \right)\), отношение \( \frac<\Delta f><\Delta x>\) станет равно производной функции в точке \( <_<0>>\).

Что же при этом станет с секущей?

Точка \( B\) будет бесконечно близка к точке \( A\), так что их можно будет считать одной и той же точкой.

Но прямая, имеющая с кривой только одну общую точку – это ни что иное, как касательная (в данном случае это условие выполняется только на небольшом участке – вблизи точки \( A\), но этого достаточно).

Говорят, что при этом секущая занимает предельное положение.

Угол наклона секущей к оси \( \displaystyle Ox\) назовем \( \varphi \). Тогда получится, что производная

Производная равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в данной точке

Поскольку касательная – это прямая, давай теперь вспомним уравнение прямой:

За что отвечает коэффициент \( \displaystyle k\)? За наклон прямой. Он так и называется: угловой коэффициент.

Что это значит? А то, что равен он тангенсу угла между прямой и осью \( \displaystyle Ox\)!

То есть вот что получается:

Но мы получили это правило, рассматривая возрастающую функцию. А что изменится, если функция будет убывающей?

Посмотрим: Теперь углы \( \alpha \) и \( \displaystyle \varphi \) тупые. А приращение функции \( \Delta f\) – отрицательное.

Получаем: \( \frac<-\Delta f><\Delta x>=-\ \alpha \text< >\Rightarrow \text< >\frac<\Delta f><\Delta x>=\ \alpha \), то есть все, как и в прошлый раз.

Снова устремим точку \( \displaystyle B\) к точке \( \displaystyle A\), и секущая \( \displaystyle AB\) примет предельное положение, то есть превратится в касательную к графику функции в точке \( \displaystyle A\).

Итак, сформулируем окончательно полученное правило:

Производная функции в данной точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке, или (что то же самое) угловому коэффициенту этой касательной:

Это и есть геометрический смысл производной.

Окей, все это интересно, но зачем оно нам? Вот пример:

На рисунке изображен график функции \( \displaystyle y=\mathsf\left( x \right)\) и касательная к нему в точке с абсциссой \( <_<0>>\).

Найдите значение производной функции \( \displaystyle \mathsf\left( x \right)\) в точке \( <_<0>>\).

Решение.

Как мы недавно выяснили, значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс:

\( \displaystyle f’\left( x \right)=k=\ \varphi\).

Значит, для нахождения значения производной нам нужно найти тангенс угла наклона касательной.

На рисунке у нас отмечено две точки, лежащие на касательной, координаты которых нам известны. Так давай достроим прямоугольный треугольник, проходящий через эти точки, и найдем тангенс угла наклона касательной!

Угол наклона касательной к оси \( \displaystyle Ox\) – это \( \displaystyle \angle BAC\). Найдем тангенс этого угла:

Таким образом, производная функции \( \displaystyle \mathsf\left( x \right)\) в точке \( <_<0>>\) равна \( \displaystyle 1,2\).

Ответ: \( \displaystyle 1,2\).

Теперь попробуй сам.

Еще статью на геометрический смысл производной ты найдешь здесь: «Геометрический смысл производной«.

Решим два примера

Пример 1. На рисунке изображен график функции \( \displaystyle y=\mathsf\left( x \right)\) и касательная к нему в точке с абсциссой \( <_<0>>\). Найдите значение производной функции \( \displaystyle \mathsf\left( x \right)\) в точке \( <_<0>>\);

Пример 2. На рисунке изображен график функции \( \displaystyle y=\mathsf\left( x \right)\) и касательная к нему в точке с абсциссой \( <_<0>>\). Найдите значение производной функции \( \displaystyle \mathsf\left( x \right)\) в точке \( <_<0>>\).

Решение примера №1

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс:

\( \displaystyle k=f’\left( x \right)=\ \beta\).

Достроим треугольник со стороной \( \displaystyle AC\), лежащей на касательной.

Угол наклона касательной – это угол, отмеченный зеленым на графике.

Он тупой \( \left( >90<>^\circ \right)\), поэтому его тангенс не получится вычислить так же, как в предыдущем примере (ведь в прямоугольном треугольнике не может быть тупого угла).

Применим знания из тригонометрии:

Источник

Узнать ещё

Знание — сила. Познавательная информация

Угловой коэффициент касательной

uglovoj koehfficient kasatelnoj

В школьной геометрии касательная к окружности определяется как прямая, которая имеет с окружностью только одну общую точку — точку касания.

В высшей математике касательная, проведённая в точке M — это предельное положение секущей MN.

geometricheskij smysl proizvodnoj

Пусть дан график функции y=f(x).

Отменим на нём точку M, в которой существует касательная к графику, не параллельная оси абсцисс.

Зададим значению аргумента приращение Δx.

Значению аргумента xо+Δx на графике функции y=f(x) соответствует точка N(xо+Δx;f(xо+Δx)).

quicklatex.com 8096165a4daec1bc2e7008830779d96c l3

Если приращение стремится к нулю (Δx→0), то секущая MN, поворачиваясь вокруг точки M, стремится к касательной, проведённой в точке M.

Если k — угловой коэффициент этой касательной, то

quicklatex.com 136096768da0716b141e533c2bb2db1a l3

quicklatex.com 506ffa3305065851dee1a6875b5a4e3d l3

Если касательная к графику функции в некоторой точке параллельна оси абсцисс, то угловой коэффициент такой касательной равен нулю.

Геометрический смысл производной:

Угловой коэффициент касательной к графику функции y=f(x), проведённой в точке с абсциссой xо, равен значению производной в точке касания:

Так как угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла α между прямой и положительным направлением оси абсцисс, то tgα=f'(xо).

Найти угловой коэффициент касательной к графику функции

quicklatex.com bcba57686dd91e323f9ca1ab96a6b5cd l3

в точке с абсциссой xо=-2.
Решение:

quicklatex.com 7b16f4c48c92f30ac489f30bcc181803 l3

quicklatex.com 5700be973fee58bae6d3871be7b5cb7e l3

Найти абсциссу точки графика функции

quicklatex.com ed231853d0117dcb888e8d4178aeae04 l3

Источник

Угловой коэффициент касательной как тангенс угла наклона

\(\blacktriangleright\) Угол \(\alpha\) наклона прямой – это угол между этой прямой и положительным направлением оси \(Ox\) ( \(0\leqslant \alpha ), лежащий в верхней полуплоскости.

\(\blacktriangleright\) Основная формула. Угловой коэффициент прямой \(y=kx+b\) равен тангенсу угла наклона этой прямой:

\[<\large<\color\, \alpha>>>\]
Т.к. касательная к графику некоторой функции — это и есть прямая, то для нее верны все эти утверждения.

MT B 7 1 1

B 7 1 4

B 7 1 3

B 7 1 5

B 7 1 6

Теме «Угловой коэффициент касательной как тангенс угла наклона» в аттестационном экзамене отводится сразу несколько заданий. В зависимости от их условия, от выпускника может требоваться как полный ответ, так и краткий. При подготовке к сдаче ЕГЭ по математике ученику обязательно стоит повторить задачи, в которых требуется вычислить угловой коэффициент касательной.

Сделать это вам поможет образовательный портал «Школково». Наши специалисты подготовили и представили теоретический и практический материал максимально доступно. Ознакомившись с ним, выпускники с любым уровнем подготовки смогут успешно решать задачи, связанные с производными, в которых требуется найти тангенс угла наклона касательной.

Основные моменты

Для нахождения правильного и рационального решения подобных заданий в ЕГЭ необходимо вспомнить базовое определение: производная представляет собой скорость изменения функции; она равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в определенной точке. Не менее важно выполнить чертеж. Он позволит найти правильное решение задач ЕГЭ на производную, в которых требуется вычислить тангенс угла наклона касательной. Для наглядности лучше всего выполнить построение графика на плоскости ОХY.

Если вы уже ознакомились с базовым материалом на тему производной и готовы приступить к решению задач на вычисление тангенса угла наклона касательной, подобных заданиям ЕГЭ, сделать это можно в режиме онлайн. Для каждого задания, например, задач на тему «Связь производной со скоростью и ускорением тела», мы прописали правильный ответ и алгоритм решения. При этом учащиеся могут попрактиковаться в выполнении задач различного уровня сложности. В случае необходимости упражнение можно сохранить в разделе «Избранное», чтобы потом обсудить решение с преподавателем.

Источник

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Конспект урока

Алгебра и начала анализа, 11 класса.

Урок №14. Геометрический смысл производной.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) Геометрический смысл производной;

2) Алгоритм нахождения касательной к графику функции в точке;

3) Сравнение производных заданной функции по ее графику в различных точках.

Число k= tgα называется угловым коэффициентом прямой, а угол α – углом между этой прямой и осью Ох.

Геометрический смысл производной. Производная в точке x равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Напомним, что графиком линейной функции у=кх + b является прямая.

Число k= tgα называется угловым коэффициентом прямой, а угол α – углом между этой прямой и осью Ох.

0f3fc801 aa6f 482b 8f37 a77a36a55da5

f3da2adb 3946 4f7d b125 c3b8e66a1b85

Уравнение касательной: y=1-1(x-0) = 1-x

Найдем угловой коэффициент прямой 4х+у+4=0:

Касательная к параболе и данная прямая по условию параллельны. Следовательно, их угловые коэффициенты равны, т.е.

х=-1 – абсцисса точки касания.

Источник

Касательная к графику функции в точке. Уравнение касательной. Геометрический смысл производной

Статья дает подробное разъяснение определений, геометрического смысла производной с графическими обозначениями. Будет рассмотрено уравнение касательной прямой с приведением примеров, найдено уравнения касательной к кривым 2 порядка.

Определения и понятия

image002 iyvrhyo

На рисунке направление о х обозначается при помощи зеленой стрелки и в виде зеленой дуги, а угол наклона при помощи красной дуги. Синяя линия относится к прямой.

image010 ZRLVkUv

Когда угловой коэффициент прямой равняется тангенсу угла наклона, то видно, что тангенс из прямоугольного треугольника А В С можно найти по отношению противолежащего катета к прилежащему.

Получаем формулу для нахождения секущей вида:

image018

По определению видно, что прямая и ее секущая в данном случае совпадают.

Секущая может множественно раз пересекать график заданной функции. Если имеется уравнение вида у = 0 для секущей, тогда количество точек пересечения с синусоидой бесконечно.

image022

image023

Теперь перейдем к рассмотрению геометрического смысла производной функции в точке.

Геометрический смысл производной функции в точке

image030

Геометрический смысл производной функции в точке в том, что дается понятие существования касательной к графику в этой же точке.

Уравнение касательной прямой

Чтобы записать уравнение любой прямой на плоскости, необходимо иметь угловой коэффициент с точкой, через которую она проходит. Его обозначение принимается как x 0 при пересечении.

Решение

Значение f ’ ( x ) в точке касания является угловым коэффициентом касательной, который равняется тангенсу наклона.

Тогда k x = t g α x = y ‘ ( x 0 ) = 3 3

Отсюда следует, что α x = a r c t g 3 3 = π 6

Ответ: уравнение касательной приобретает вид

Для наглядности приведем пример в графической иллюстрации.

Черный цвет используется для графика исходной функции, синий цвет – изображение касательной, красная точка – точка касания. Рисунок, располагаемый справа, показывает в увеличенном виде.

image055

Решение

По условию имеем, что областью определения заданной функции считается множество всех действительных чисел.

Перейдем к нахождению производной

Для наглядности изобразим графически.

image062

Решение

Необходимо продифференцировать функцию. Имеем, что

Вычисляем соответствующие значения функции

Рассмотрим графическое изображение решения.

image078

Черная линия – график функции, красные точки – точки касания.

Первое уравнение не имеет корней, так как дискриминант меньше нуля. Запишем, что

Другое уравнение имеет два действительных корня, тогда

Перейдем к нахождению значений функции. Получаем, что

image086 hEYBh16

Возможно существование бесконечного количества касательных для заданных функций.

Решение

Это тригонометрическое уравнение будет использовано для вычисления ординат точек касания.

Найдены х точек касания. Теперь необходимо перейти к поиску значений у :

Ответ: необходимы уравнения запишутся как

Для наглядного изображения рассмотрим функцию и касательную на координатной прямой.

image098 89zhSSm

Касательная к окружности, эллипсу, гиперболе, параболе

Канонические уравнения кривых 2 порядка не являются однозначными функциями. Уравнения касательных для них составляются по известным схемам.

Касательная к окружности

Данное равенство может быть записано как объединение двух функций:

Первая функция располагается вверху, а вторая внизу, как показано на рисунке.

image102

image114

Касательная к эллипсу

Эллипс и окружность могут быть обозначаться при помощи объединения двух функций, а именно: верхнего и нижнего полуэллипса. Тогда получаем, что

image117

image118

Решение

Применим стандартный алгоритм для того, чтобы составить уравнение касательной к графику функции в точке. Запишем, что уравнение для первой касательной в точке 2 ; 5 3 2 + 5 будет иметь вид

Графически касательные обозначаются так:

image128

Касательная к гиперболе

image135

Гипербола может быть представлена в виде двух объединенных функций вида

image138

Отсюда следует, что для того, чтобы найти уравнение касательной к гиперболе, необходимо выяснить, какой функции принадлежит точка касания. Чтобы определить это, необходимо произвести подстановку в уравнения и проверить их на тождественность.

Решение

Необходимо преобразовать запись решения нахождения гиперболы при помощи 2 функций. Получим, что

Ответ: уравнение касательной можно представить как

Наглядно изображается так:

image146

Касательная к параболе

Графически изобразим как:

image152

Решение

Начинаем решение с представления параболы в качестве двух функций. Получим, что

Значение углового коэффициента равняется значению производной в точке x 0 этой функции и равняется тангенсу угла наклона.

Отсюда определим значение х для точек касания.

Первая функция запишется как

Очевидно, что действительных корней нет, так как получили отрицательное значение. Делаем вывод, что касательной с углом 150 ° для такой функции не существует.

Вторая функция запишется как

Ответ: уравнение касательной принимает вид

Источник

Читайте также:  что такое статические и динамические упражнения
Рейтинг
( Пока оценок нет )
Праздники по дням и их значения
Adblock
detector