Одинарная или двойная точность?
Введение
Статья также написана для тех из вас, у кого много данных. Если вам требуется несколько чисел тут или там, просто используйте double и не забивайте себе голову!
Точность данных
У 32-битных чисел с плавающей запятой точность примерно 24 бита, то есть около 7 десятичных знаков, а у чисел с двойной точностью — 53 бита, то есть примерно 16 десятичных знаков. Насколько это много? Вот некоторые грубые оценки того, какую точность вы получаете в худшем случае при использовании float и double для измерения объектов в разных диапазонах:
Почему всегда не хранить всё с двойной точностью?
Влияние на производительность вычислений с одинарной и двойной точностью
Когда производить вычисления с увеличенной точностью
Даже если вы храните данные с одинарной точностью, в некоторых случаях уместно использовать двойную точность при вычислениях. Вот простой пример на С:
Если вы запустите этот код на десяти числах одинарной точности, то не заметите каких-либо проблем с точностью. Но если запустите на миллионе чисел, то определённо заметите. Причина в том, что точность теряется при сложении больших и маленьких чисел, а после сложения миллиона чисел, вероятно, такая ситуация встретится. Практическое правило такое: если вы складываете 10^N значений, то теряете N десятичных знаков точности. Так что при сложении тысячи (10^3) чисел теряются три десятичных знака точности. Если складывать миллион (10^6) чисел, то теряются шесть десятичных знаков (а у float их всего семь!). Решение простое: вместо этого выполнять вычисления в формате double :
Пример
Предположим, что вы хотите точно измерить какое-то значение, но ваше измерительное устройство (с неким цифровым дисплеем) показывает только три значимых разряда. Измерение переменной десять раз выдаёт следующий ряд значений:
Чтобы увеличить точность, вы решаете сложить результаты измерений и вычислить среднее значение. В этом примере используется число с плавающей запятой в base-10, у которого точность составляет точно семь десятичных знаков (похоже на 32-битный float ). С тремя значимыми разрядами это даёт нам четыре дополнительных десятичных знака точности:
В сумме уже четыре значимых разряда, с тремя свободными. Что если сложить сотню таких значений? Тогда мы получим нечто вроде такого:
Всё ещё остались два неиспользованных разряда. Если суммировать тысячу чисел?
Пока что всё хорошо, но теперь мы используем все десятичные знаки для точности. Продолжим складывать числа:
Заметьте, как мы сдвигаем меньшее число, чтобы выровнять десятичный разделитель. У нас больше нет запасных разрядов, и мы опасно приблизились к потере точности. Что если сложить сто тысяч значений? Тогда добавление новых значений будет выглядеть так:
Обратите внимание, что последний значимый разряд данных (2 в 3.12) теряется. Вот теперь потеря точности действительно происходит, поскольку мы непрерывно будем игнорировать последний разряд точности наших данных. Мы видим, что проблема возникает после сложения десяти тысяч чисел, но до ста тысяч. У нас есть семь десятичных знаков точности, а в измерениях имеются три значимых разряда. Оставшиеся четыре разряда — это четыре порядка величины, которые выполняют роль своеобразного «числового буфера». Поэтому мы можем безопасно складывать четыре порядка величины = 10000 значений без потери точности, но дальше возникнут проблемы. Поэтому правило следующее:
(Существуют численно стабильные способы сложения большого количества значений. Однако простое переключение с float на double гораздо проще и, вероятно, быстрее).
Выводы
Приложение: Что такое число с плавающей запятой?
Я обнаружил, что многие на самом деле не вникают, что такое числа с плавающей запятой, поэтому есть смысл вкратце объяснить. Я пропущу здесь мельчайшие детали о битах, INF, NaN и поднормалях, а вместо этого покажу несколько примеров чисел с плавающей запятой в base-10. Всё то же самое применимо к двоичным числам.
Вот несколько примеров чисел с плавающей запятой, все с семью десятичными разрядами (это близко к 32-битному float ).
1.875545 · 10^-18 = 0.000 000 000 000 000 001 875 545
3.141593 · 10^0 = 3.141593
2.997925 · 10^8 = 299 792 500
6.022141 · 10^23 = 602 214 100 000 000 000 000 000
Выделенная жирным часть называется мантиссой, а выделенная курсивом — экспонентой. Вкратце, точность хранится в мантиссе, а величина в экспоненте. Так как с ними работать? Ну, умножение производится просто: перемножаем мантисссы и складываем экспоненты:
Сложение немного хитрее: чтобы сложить два числа разной величины, сначала нужно сдвинуть меньшее из двух чисел таким образом, чтобы запятая находилась в одном и том же месте.
Заметьте, как мы сдвинули некоторые из значимых десятичных знаков, чтобы запятые совпадали. Другими словами, мы теряем точность, когда складываем числа разных величин.
Источник
Значение слова «удвоить»
Источник (печатная версия): Словарь русского языка: В 4-х т. / РАН, Ин-т лингвистич. исследований; Под ред. А. П. Евгеньевой. — 4-е изд., стер. — М.: Рус. яз.; Полиграфресурсы, 1999; (электронная версия): Фундаментальная электронная библиотека
УДВО’ИТЬ, о́ю, о́ишь, сов. (к удваивать), что. 1. Увеличить, повысить вдвое. У. цену. У. зарплату. 2. перен. Увеличить, усилить. Молодые игроки удвоили внимание. Пушкин.
Источник: «Толковый словарь русского языка» под редакцией Д. Н. Ушакова (1935-1940); (электронная версия): Фундаментальная электронная библиотека
удво́ить
1. увеличить в два раза; умножить на два
2. лингв. о звуке, слоге и т. п. — повторить дважды
Делаем Карту слов лучше вместе
Привет! Меня зовут Лампобот, я компьютерная программа, которая помогает делать Карту слов. Я отлично умею считать, но пока плохо понимаю, как устроен ваш мир. Помоги мне разобраться!
Спасибо! Я обязательно научусь отличать широко распространённые слова от узкоспециальных.
Насколько понятно значение слова великоросс (существительное):
Источник
Сайт Михаила Кожаева
Одна жизнь — тысяча возможностей
Двойственное число
С детства мне вспоминается эпизод, когда футбольный комментатор назвал десницей левую руку Марадоны, которой тот забил гол в финале чемпионата мира 1986 года. Как же так, негодовал я, едва приступив в гимназии к азам церковнославянского, – ведь «десница» – это правая рука. А для левой руки есть наименование «шуя». Спустя годы и курсы филологии на меже с философией я узнал, что во многих африканских языках есть десятки глаголов для обозначения конкретного вида бега, но ни одного – для бега вообще, как такового. Эти и многие другие удивительные факты продолжают подогревать интерес к языку. Но, пожалуй, самый занимательный феномен, который присутствовал в старославянском, но исчез в русском языке, – двойственное число. Что это такое и в чём его актуальность, если сегодня многие всерьёз поговаривают о его возвращении в великий и могучий?
В неосложнённом детском сознании «очки» — это много очков
Что такое двойственное число?
Вот вам простой пример. Когда собеседник говорит, что купил двое перчаток, – что вам представляется? Просто две перчатки или две пары? Недоразумения не случилось бы, если бы в нашем языке сохранилось, помимо единственного и множественного, ещё и двойственное число. В падежах оно выделяет себя окончанием. Проще говоря – существительные в двойственном числе склоняются по-особому, равно как и прилагательные.
Согласен, не самый удачный пример. Да и с непривычки его звучание отталкивает. Однако теперь мы сможем без дополнения сразу передавать точный смысл: я купил двое перчатков, принёс двое очковей и наточил двое ножницей. Звучит тяжеловесно? Но зачем тогда древние, а также некоторые современные языки имеют двойственное число?
Отголоски двойственного числа мы можем наблюдать, но не всегда замечаем в родном языке. Например: один брат, много братьев, но – два брата. Это указание, что либо братьев всего двое, либо в данном конкретном случае речь идёт именно об этих двух братьях. У нас в крови использовать двойственное число, когда мы говорим о двойственных частях тела – руках, ногах, глазах и т. д. Наверняка нас удивит фраза: «Как же у меня болят коленья» (по аналогии с поленьями). Ведь у человека этих суставов два, поэтому органично звучит «мои колени».
Одним словом, все уже успели понять, что двойственное число было в нашем праязыке – старославянском. Вообще, двойственное число было распространено среди многих языков индоевропейской семьи. Существует оно также и в семитских языках, в частности, в арабском и иврите. А если говорить о более близких к нам как в хронологическом, так и в культурном плане языках, в которых сегодня встречается двойственное число, то следует назвать в первую очередь словенский.
И зачем нам сегодня двойственное число?
Действительно, многие могут спросить: зачем нам сегодня двойственное число? Было оно в старославянском, сохранилось в современном словенском, ну и что? Как-то мы справляемся в повседневной жизни без него. Зачем же плодить сущности, о вреде чего предупреждал ещё Оккам?
Постараюсь сформулировать тезисно плюсы возвращения в русский язык двойственного числа. Итак.
Плюс первый: словотворчество. Сколько бы ни говорили о ненужности двойственного числа, тем не менее необходимо признать его чрезвычайно продуктивную роль в словообразовании. Собственно, слово «оба», которое мы сегодня используем в качестве аналога «два», «двое», представляет собой форму двойственного числа. Сравните в первой же библейской книге в старославянском переводе: «И беста оба нага, Адам же и жена его, и не стыдястася» (Быт. II, 25).
Многие ставшие сегодня привычными слова на самом деле были образованы не без участия двойственного числа. Например, «обруч» дословно переводится как «то, что можно обхватить двумя руками»: «обе ручи». А «серьги» произошли от «усе» + «рязи», где усе – это уши, а рязи – наряды (сравните: рядиться). Соответственно, серьги – это наряды для ушей.
Плюс второй: юмор. Обращаясь всё к тем же ушам, можно вспомнить кинематографическое «ухи оторву». Юмористический эффект здесь вызван, очевидно, заведомо неправильным употреблением числа. В современном русском языке «уши» стали правилом, которое представляет собой, по сути, исключение из правила, но старательно маскирует это. Ведь «уши» – это исходная форма двойственного числа, которая сегодня однозначно трактуется как множественное. В то время как буква «х» употребляется только в единственном числе – «ухо». Этим и объясняется непроизвольный смех, когда мы слышим «ухи». Схожий эффект произведут и «боки» вместо «бока»: «как у меня болят боки»; «роги» вместо «рога» и т. д.
Согласен, в данном случае речь идёт не о возвращении двойственного числа, поскольку тогда бы смешные сейчас формы стали бы несмешной нормой, – а о гибком и вдумчивом отношении к языку как таковому. Ведь такое уважение к языку всегда принесёт юмористические дивиденды, есть в нём двойственное число или нет.
В немецком языке двойственное число обозначалось существительным “Dualis”, которое современному человеку невольно навевает идею дуальности – борьбы и единства противоположностей, инь и ян. Не исключаю, что идею возвращения в русский язык двойственного числа могут поддержать представители прогрессивной прослойки общества, интеллектуалы, джазмены – не знаю, много кто. Как показывает опыт, мода не щадит никого и ничего. Появится мода на цвет детской неожиданности – вот уже «Мерседес» выпускает партию таких дамских внедорожников. Может быть, как раз эти дамы и начнут использовать в речи двойственное число.
Вот тогда-то филологам и нужно будет поднапрячься и составить правила его употребления. Пока же могу предполагать, что, возможно, ваш покорный слуга напишет небольшой рассказ с вкраплениями множественного числа. Но всё это туманное будущее. А пока – назовём ещё одно преимущество двойственного числа.
Плюс четвёртый: флирт. Утилитарная функция языка заключается в выражении мыслей. Но с его помощью можно делать много ещё всяких фокусов. Конечно, при условии надёжной связки интеллект-язык. Так вот то, что, будучи высказанным в обществе, можно было бы счесть интеллектуальными понтами, – наедине с дамой может выступить существенной подпоркой при осадке её замка. Точнее, двух замков… Подождите, как правильно?
Действительно, почему мы говорим «грудь», если их две? Разумеется, из соображений этикета. Однако такое положение в языке наблюдалось не всегда. Вообще, двойственное число из старославянского стало исчезать в период формирования национальных языков – русского, украинского и белорусского, то есть в XIV – XV веках. Но ещё в XIX его следы продолжали сохраняться. Да что далеко ходить – Пушкин в «Евгении Онегине» описывает утренний девичий туалет: «Умыть лицо, плеча и груди». Слова «плеча» и «груди» употреблены здесь не во множественном, а в двойственном числе.
Сегодня указанные части тела трансформировались во множественные «плечи» и в единственную «грудь». Зато если, желая блеснуть познаниями, упомянуть пушкинскую строку, – не грудь, но груди объекта соблазнения могут вздохнуть и подпустить вас ещё на один шаг. Так что двойственное число в общем контексте интеллекта – верный способ повысить свои шансы. Желательно, конечно, при этом быть красавцем с девятизначными накоплениями. Но, согласитесь, даже Роберту Дауни-младшему цитирование Пушкина при его миллионах уж точно никак не помешает!
Источник
